Topologie discrète

     Distribution irrégulière des entités spatiales Représentation géométrique des entités Frontières explicites Localisation précise et unique Attributs et entités reliés par un numéro d’identification Représentation très efficace de la topologie Modèle matriciel   Structure qui permet de manipuler et de représenter l'information cartographique à partir d'une matrice de cellules (pixels) qui possèdent certains attributs de teinte et de couleur. L’espace géographique se trouve subdivisé

MP* 2014/2015 RÉSUMÉ DU COURS ESPACES NORMÉS : SUITES ET TOPOLOGIE I Suites réelles et complexes A Borne supérieure Définition Si A ⊂ R est une partie non vide et majorée, l’ensemble de ses majorants possède un plus petit élément, qu’on appelle borne supérieure de A et notée sup( A). Cette borne supérieure M = sup( A) n’est pas en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés ∀x∈A x M ∀ε>0 ∃x∈A B M−ε < x M Convergence d’une suite réelle

euclidienne à petite échelle. Par ailleurs, la géométrie analytique a introduit la notion de dimension de l'espace, et développa une géométrie multidimensionnelle (de dimension finie, puis infinie). Enfin, la géométrie moderne s'est enrichie de la topologie et peut désormais être pleinement qualifiée de science de l'espace. Diverses disciplines dérivées de la géométrie, tant en physique qu'en mathématiques, donne à "leur espace" un sens plus particulier : Physique[modifier | modifier le code] En

structuration de la spatialité en deux grandes étapes. Une première spatialité que l’on peut qualifier de topologique se met en place en référence à un centre relié à une périphérie. On trouve là une symétrie radiaire, rayonnante. On sait qu’en topologie, la forme importe moins que le caractère ouvert ou fermé d’une figure. Sur le plan de l’édification corporelle, cette spatialité répond à un schème de mouvement qualifié par Irmgard Bartenieff de core-distal connection. Il s’agit d’une organisation

sousensembles de Ω. On dit que O est une topologie sur Ω si elle v´erifie les trois conditions (i) ∅, Ω ∈ T , (ii) O1 , O2 ∈ T ⇒ O1 ∩ O2 ∈ T , (iii) si I est un ensemble (d’indices) et si pour tout i ∈ I on a Ai ∈ T , alors ∪ Oi ∈ T . i∈I Le couple (Ω, O) est appel´e un espace topologique et les ´el´ements de O sont appel´es les ouverts (de la topologie). Si (Ω, O) est un espace topologique, alors une partie B ⊂ O est appel´ee une base pour la topologie si tout ´el´ement de O s’´ecrit comme une

qu’un sous espace A d’un espace topologique (Z, ) est relativement compact (pour la topologie induite) si son adhérence est compact. ' 3 Théorème d’Ascoli On considère dans cette section deux espaces métriques (X,d) et (Y,δ). Nous allons travailler sur l’espace (X,Y) des applications continues de X dans Y. Nous allons supposer que (X,d) est un espace métrique compact. Ainsi on pourra munir (X,Y) de la topologie de la convergence uniforme. On notera, comme d’habitude, si f et g sont des éléments

Introduction ` la Topologie a Licence de Math´matiques e Universit´ de Rennes 1 e Francis Nier Drago¸ Iftimie s 2 3 Introduction Ce cours s’adresse ` des ´tudiants de Licence en math´matiques. Il a pour a e e objectif de donner les bases en topologie indispensables ` toute formation en a math´matiques. Il ne s’agit pas d’un trait´ complet sur le sujet, qui n’est pas e e neuf. De nombreux livres parfois tr`s fournis (ceux donn´s dans la bibliographie e e par exemple) existent d´j`. Nous

Topologie Générale - UE045 - Année 2009-2010 2009 Contrôle continu Durée - le 14 octobre : 1 heure Les documents, calculatrices non autorisés. Questions de cours Soit (E, T) un espace topologique. 1. De combien de topologies peut-on munir E s'il contenait 2 éléments? 2. Soit A un sous ensemble de E. Vérifier que GEA = GgA. et que GEA. c;A = o 3. Soit maintenant BeA c E. Vérifier que la topologie (TA)B induite par TA sur B n'est autre que la topologie

n bn Exo ( Très important ) : an ~ bn et lim an  1 alors ln  an  ∼ ln bn  n 1 Rappel : quelques résultats de SUP : ln(n)  o  n  ; en  o  n III ) Topologie dans un espace vectoriel normé : 1°) Boules ouvertes et fermées : Def : Soit E un espace vectoriel normé, x un élément de E, on appelle boule ouverte de centre x et de rayon r le sous ensemble de E défini par : Bo x, r    y  E,

Cours de topologie et d’analyse fonctionnelle Master premi`re ann´e e e Rapha¨l Danchin e Ann´e 2009–2010 e 2 Table des mati`res e 1 Un 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 peu de topologie g´n´rale e e D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . e Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . e Topologie produit (hors-programme) Suites des espaces topologiques . . . Compacit´ . . . . . . . . . . . . . . . e 5 5 7 8 9 10 13 13 14 17 18 20 25 25 28 30 32 33 37 37 37 38 39 40 43 43 44 46 49 53 53 55 56 57 58