Tpe Nombres Premiers

trouve des groupes de 11, 13, 17, 19. Un premier coup d’œil à ces colonnes, montre que la première colonne obéit à la règle « 10+1, 20+1, 20-1, 10-1 ». Les premiers groupements de la deuxième colonne s’ordonnent comme un fragment de table de multiplication de 2 « 3-6, 4-8, 5-10 », mais la séquence 5-7 échappe à cette hypothèse et la remet donc en cause. La troisième colonne est constituée de nombres premiers compris entre 10 et 20. Un nombre premier est un nombre qui ne peut être divisé que par 1 et

appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. Exercice 2 Soit la suite définie par et pour tout nombre entier naturel n, par . Si f est la fonction définie sur l'intervalle par : , alors on a, pour tout nombre entier naturel n, . On donne sur la figure

EXERCICES : Chapitre « Suites arithmétiques et géométriques » Exercice n°1 Pour chacune des suites suivantes, calculer les quatre premiers termes : a. un = 2n – 7 b. un = – 3n + 4 c. un = n2 – 5 d. un = n – 2 n Exercice n°2 Pour chacune des suites suivantes, calculer u1, u2 et u3. a. { u0 = – 2 un + 1 = un + 3 b. { u0 = 1 un + 1 = 2un + 3 c. { u0 = 0 un + 1 = un 2 – 1 Exercice n°3 On considère la suite définie sur V par : vn = – 3n + 4. Ecrire en fonction de n :

alors la suite (Un)n >/= 1. Exemples : Sois la suite u définie par une formule explicite par Un = n2 + n. Calculer ses 3 premiers termes : U0 = 02 + 0 = 0 U1 = 12 + 1 = 2 U2 = 22 + 2 = 6 Pour tout entier naturel n, Un = f(n) avec f : x x2 + x Sois la suite u définie par une formule récurrente par U0 = 1 et pour tout entier naturel n par Un+1 = Un2 -1. Calculer ses 3 premiers termes : U0 = 1 U1 = U02 -1 = 12 -1 = 0 U2 = U12 -1 = 02 -1 = -1 II/Sens de variation d’une suite Si pour entier naturel

« arithmos » le nombre. C’est une branche de l’algèbre générale, elle comprend la théorie des groupes et la théorie du nombre. Elle prend en compte les types de nombre et étudie l’impact des opérateurs sur ces nombres. Quelques noms Euclide d’Alexandrie Leonhard EULER Christian GOLDBACH Pierre de FERMAT Stéphan BOUSQUET Table des matières 1 OUTILS DE BASE 4 1.1 Les sous-entendus dans la notation 4 1.2 Diviseurs 4 1.3 Nombres premiers 4 1.4 Décomposition en produit de facteurs premiers 4 1.5 Notation

existe un nombre M supérieur à tous les termes de la suite est dite majorée et le nombre M est un majorant de la suite. d) Toute suite croissante et majorée est convergente. e) Toute suite décroissante non minorée a pour limite –∞. f) (u n ) et (v n ) sont deux suites. Si pour tout entier n, n ≥ n 0 , u n ≤ v n et lim u n = +∞, 30. Vrai ou faux a) Faux : La suite 1 ; –1 ; 1 ; –1 ; … (u n = (–1)n) est bornée et non convergente. b) Vrai : les termes de la suite sont entre le premier terme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de B ÉZOUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de G AUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres premiers 5 5 5 6 6 8 8 9 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduction Exercice/TP I. Généralités sur les suites 1) Notion de suite Définition : Soit n un entier naturel (positif ou nul). A chaque entier n, on associe un nombre réel u n . On dit que l'ensemble des nombres u n forme la suite de terme général u n . Notation : On note cette suite (u n ) . 2) Génération d'une suite  • Une suite peut être définie par une formule explicite au moyen d'une fonction qui permet de calculer directement chaque terme d'indice n : le terme général est donné en fonction

EXERCICE 3 (4 points ) Commun à tous les candidats 1) Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x. a) Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, kn kk ≤ . n! k! b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, x xn ≤ n! k n × kk . k! c) Montrer que : xn = 0. n→+∞ n! lim 2) a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, nn−1 ≥ 1. n! nn−1 comme un produit de n − 1 facteurs supérieurs ou égaux à 1). n

Pour ) ??? , Si On détermine la somme de termes consécutifs d’une suite ( ) ( ) ( ) ( ) ! Pour obtenir le nombre de termes d’une somme de termes consécutifs, on fait : (dernier indice – premier indice +1) Exercice 1 : On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par : { 1) Montrer que la suite ( ) définie pour tout entier n par précisera le premier terme et la raison. 2) En déduire l’expression de la somme est une suite géométrique dont on en fonction de n. Comment