Tpe Nombres Premiers

154 / 143 reste 11 <- PGCD 36-12=24 143 / 11 reste 0 24-12=12 <- PGCD 12-12=0 Deux nombres entiers dont le PGCD vaut 1 sont deux nombres premiers entre eux. Si a et b sont premiers entre eux, alors la fraction a/b est irréductible. Si on simplifie une fraction par le PGCD des deux nombres fractionnés, la fraction devient irreductible. F :x f(x) F(x) s’appelle l’image de x par f x est un antécédant de f(x) par f f :x 2x l’image

55 ( ) 3 6 − 1 = 55 3 ( ) 3 7 −1 − 1. Or 7 est un nombre premier qui ne divise pas 55 , alors, d’après le petit théorème de Fermat, 55 ( ) 3 7 −1 ≡ 1 [ 7] . On en déduit que 55 Par conséquent, 5750 − 1 = 55 ( ) ( ) 3 7 −1 −1≡ 0 [7] . 3 7 −1 − 1 est divisible par 7. La proposition 3 est donc vraie. Petit théorème de Fermat : Soit n un entier. Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n p −1 ≡ 1 [ p ] . 4) Cherchons le PGCD de 4n

SUITES NUMERIQUES I Raisonnement par récurrence Exemple introductif : (Un) défini pour tout n  IN par :  Un+1 = 2 Un + 1   U0 = 0  Formule Un en fonction de n ?  Calcul des premiers termes (1, 3, 7, 15, 31…) n  Conjecture : Pour tout n  IN, Un = 2 – 1  Démonstration ? n  Soit P la propriété définie pour n  IN par : Pn : Un = 2 – 1 Supposons cette propriété vrai pour un certain entier n . n n+1 On a alors Un+1 = 2 Un + 1 = 2(2 – 1) + 1 = 2 – 1 càd Pn + 1. P est héréditaire et comme

une suite, on détermine les premiers termes puis on s’efforce de conjecturer sa variation et son comportement en l’infini. Qu’est-ce qu’une suite numérique ? Une suite numérique est une liste infinie de nombres dont chaque terme possède un numéro qui donne sa place dans la liste. Exemple : la suite (an) : a0 ( le premier terme) a1 … a10 … an ( le terme général) an+1 … l’infini a10 est ici le 11ème terme de la liste. Exemple : la suite (bn) : b1 ( le premier terme) b2 … b10 … bn ( le terme

A cette époque, les deux grandes branches des mathématiques théoriques étaient la géométrie et l'arithmétique. En particulier, même si l'algèbre était connue, elle ne paraissait pas nécessairement bien adaptée pour traiter des problèmes sur les nombres entiers : la solution d'une équation à coefficients entiers n'est pas nécessairement entière. Fermat mit au point plusieurs méthodes pour mettre l'algèbre au service de l'arithmétique théorique, en particulier la méthode de descente infinie. 2

fiche n° 10 POLYNOMES On note K = R ou K = C et X la fonction x a x . Définitions Un monôme sur K est de la forme aX k où k ∈N et a ∈ K . Un polynôme P sur K est une somme finie de monômes. Si le polynôme P n’est pas nul, il existe un unique n ∈N et un unique (a0 ,..., an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n . fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor ∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K P( X ) = ∑ P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout

>=0: print"le nombre x est positif" | Instruction conditionnelle"si condition alors instruction1 sinon instruction2" | if condition: instructionelse: instruction | Programme permettant de savoir si un nombre est positif ou strictement négatif.if x >=0: print"x est positif"else: print"x est strictement négatif" | Boucle itérative"pour i variant de 1 à n" | for i in range(1,n+1): instruction | Programme permettant de calculer la somme des 10 premiers entiers.S=0for i

appartient au cercle circonscrit au triangle ACD. e 0,25 pt x 4 0,5 pt EXERCICE 2 (4 points). On rappelle la propri´t´ connue sous le nom de petit th´or`me de Fermat : ”Si p est un ee e e nombre premier et a un entier naturel premier avec p, alors ap−1 ≡ 1[p].” 1. a) D´montrer que 193 est un nombre premier. e b) Soit a un entier naturel inf´rieur a 192. Montrer que a192 ≡ 1[193]. e ` 2. On consid`re l’´quation e e (E) : a) V´rifier que le couple (155, 67) est solution de (E). e b) R´soudre l’´quation

CHAPITRE 1 LES ENSEMBLES 1.1. Introduction De nombreux problèmes mathématiques ne concernent que des objets pris individuellement. Par exemple, la question « le nombre entier 211 −1 est-il premier ou non ? » porte sur le nombre 211 −1, qui semble être, d’un point de vue intuitif, un objet « atomique » des mathématiques. Il existe cependant beaucoup d’autres situations dans lesquelles il est important de pouvoir considérer un regroupement d’objets mathématiques sans avoir à nommer spécifiquement

Terminale S3 Corrigé du Devoir Maison n˚ 5 Mardi 1er mars 2 011 Exercice : Formule de l’exponentielle Soit un réel. ( ) la proposition « e = (e ) ». Démontrons-la par récurrence sur ℕ. Pour tout entier naturel , on note Initialisation : Pour donc = 0, on a e0× = e0 = 1 = (e )0 (0) est vraie. ( ) vraie et montrons qu’alors ( + 1) l’est aussi. Hérédité : Soit un entier naturel. Supposons Il vient alors e( +1) = e = e + ×e 1 +1 d’après les formules algébriques de