Transformation Bactérienne

LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES ´ Rene Alt ´ Universite Pierre et Marie Curie 4 place Jussieu 75252 Paris Cedex 05 e-mail: Rene.Alt@lip6.fr LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 1/6 Plan du cours Introduction: qu’est-ce qu’un signal Rappels sur la transformation de Fourier La transformation en ondelettes continues Les principales ondelettes Propriétés des ondelettes La transformation discrete en ondelettes La transformation en ondelettes pour les images Compression à l’aide d’ondelettes Notions

1.2.2.5 Conjugaison complexe On note x¤ le signal conjugué de x1.11. Calculons TF[x¤(t)] : TF[x¤(t)] = Z +1 ¡1 x¤(t)e¡j2¼ºtdt = µZ +1 ¡1 x(t)e+j2¼ºtdt ¶¤ Et donc : TF[x¤(t)] = X¤(¡º) (1.11) Remarque : si x est un signal réel, alors x(t) = x¤(t), donc X(º) = X¤(¡º). Si de plus x est pair (ou impair), alors x(t) = x(¡t) (respectivement x(t) = ¡x(¡t)) et en utilisant la remarque du paragraphe 1.2.2.4, il vient X¤(¡º) = X¤(º) (respectivement X¤(¡º) = ¡X¤(º)) d’où X(º) = X¤(º) et X est réelle

 forme  sur  le  toit  du  bâtiment  :  un  «  dia-­ dème  »,  composé  de  panneaux  en  acier  à  la  surface  ondu-­ lée  ressemblant  à  un  élément  liquide,  s'impose  au  regard  du   spectateur  avec  une  étrange  «  légèreté  ».   La  transformation  de  la  matière,  le  poétique  qui  envahi  le   métal  et  le  reflet  qui  fait  l'œuvre  de  la  réalité  qui  l'entoure   caractérisent   le   travail   de   LEVÊQUE   qui   nous   met   face   à   une  tension  visuelle  altérant  nos  perceptions

F(ω ) −∞ La transformation inverse est alors donnée par : TF −1{F(ω )} = 1 2π +∞ ∫ F(ω ) exp +iωt dω = f (t ) −∞ On peut également utiliser la définition en fréquence (avec facteur 2π dans l’exponentielle) de la transformée de Fourier (directe et inverse) : TF{f (t )} = +∞ ∫ f (t ) exp −i 2πνt dt = F(ν ) −∞ TF −1 {F(ν )} = +∞ ∫ F(ν )exp +i 2πνt dν = f (t ) −∞ NB : il est pratique d’avoir le facteur 2π dans l’exponentielle. Cela permet que les transformations directes et 1

partir de 1868 puis la Russie à la fin duxixe : ils forment les pays de la deuxième vague.Les transformations économiques, politiques et sociales sont telles que certains, comme Max Pietsch[4] et David Landes[5], veulent y voir une rupture avec le passé.D'autres pointent plutôt la convergence d'éléments que le contexte historique favorise et diffuse au xixe siècle. Karl Polanyi, dans La Grande Transformation (1944), expose notamment l'idée d'un siècle marqué par :un équilibre politique international :

Table des matières AVANT-PROPOS NOTATIONS ET ABRÉVIATIONS XI XIII PARTIE 1 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUES CHAPITRE 1 • DÉFINITIONS ET REPRÉSENTATION DES SIGNAUX 3 1.1 Définitions 3 1.2 Représentation des signaux 7 CHAPITRE 2 • TRANSFORMATIONS DE FOURIER 13 2.1 Analyse spectrale des fonctions périodiques 13 2.2 Analyse spectrale des fonctions non périodiques 24 VIII Table des matières CHAPITRE 3 • SYSTÈMES DE TRANSMISSION. FILTRAGE 31 3.1 Systèmes de transmission 31

Automatique linéaire 1- Système asservi Un système linéaire est défini par des équations différentielles à coefficients constants. On peut associer à ces équations des fonctions de transfert exprimées en utilisant la notation complexe ou les transformées de Laplace (jw = p). 11. Principe Schéma du système en boucle fermée : Consigne (c) erreur (e) H sortie (s) s si s K On souhaite asservir la variable « s » à la variable d’entrée « c ». La variable d’entrée est appelée la consigne elle correspond

................................................. 3 3 - Séries de Fourier................................................................................................................................................................... 4 4 - Transformation et bilan d’énergie ........................................................................................................................................ 4 Correction du TD n°1...............................................................

���� = �� + 1 1 − − = 1 + �� 2 2 Au final, ��1 ⋆ ��1 2 2 �� = 1 − �� si �� ≤ 1 0 sinon 2 2 b) On a calculé la transformée de Fourier de ��1 : ��1 �� = sin (���� ) ���� Le produit de convolution devient le produit usuel par transformation de Fourier donc : ℱ On a donc : ℱ ��1 ⋆ ��1 (��) = ��1 2 2 2 ��1 ⋆ ��1 2 2 2 = ��1 . ��1 2 2 2 = sin ���� ���� Page 7 sur 11 ESTACA 2ème année 2009-2010 Maths et probas : Corrigé du DS3 du 15 mars 2010 R. Bondu c)

IV – Annexe Le code du problème réalisé sous MATLAB % Déclaration des variables clear; close all; Fe=1000; t=-2*pi:(1/Fe):2*pi; % Fe = 1000 (pas) f1=100; % f1 >>fx1 f2=324; % f2 >>fx2 fx1=0.3; fx2=0.2; % Génération de signaux hold off x1=cos(2*pi*fx1*t); x2=square(2*pi*fx2*t); plot (t, x1, 'r'); hold on plot(t,x2, 'g'); pause hold off % Modulation Amplitude x1=x1+1; x2=x2+1; % Rendre les signaux positifs y1=x1.*cos(2*pi*f1*t); y2=x2.*cos(2*pi*f2*t); % On met la porteuse