Triangle équilatéral

LES TRIANGLES Caractéristiques des triangles Comme son nom l'indique, un triangle est une figure à "3'" : tri = trois - trois côtés - trois angles - trois sommets : sommet (points, extrêmités des 3 segments qui forment le triangle) les points A B C sont les 3 sommets du triangle AB- BC et CA sont les 3 côtés CAB - ABC et BCA sont les 3 angles Règle : la somme des 3 angles d'un triangle est toujours égale à 180° Base du triangle : on appelle base d'un triangle, le côté sur lequel

2 z E − zC 3 1 3 1 3− + i + i 2 2 2 2 CD z D − zC iπ = = e 3 = 1 donc C D = C E . b. On en déduit : z E − zC CE π π z D − zC − → −→ − arg = C E ; C D = arg ei 3 = à 2kπ près. z E − zC 3 π CDE est isocèle et l’angle au sommet vaut : c’est un triangle équilatéral. 3 A → − v O B 1 − 2 → − u C D E Amérique du Nord Page 2/6 mai 2007 Baccalauréat S E XERCICE 2 Pour les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques 5 points 1. f est la transformation dont une écriture complexe

SREAMNS II Luca Campana © Tables des matières : 1. Introduction 2. Propriétés fondamentales et formules géométriques 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. Propriétés angulaires et Théorème de Thalès Hauteur, médiane, bissectrice et médiatrice dans un triangle Théorème de Pythagore Règle de trois Somme des angles d'une figure à N côtés Priorités d'opération 3. Calcul littéral 4. Équations à une inconnue du premier et du deuxième degré 5. Un peu de trigonométrie 6. Pour allez plus loin 7. Réponses des

− 2 6 =e i π 3 . y 1 A D b. Le rapport précédent s’écrit donc z D − zC = e 3 ( z E − zC ) : D est donc l’image π du point E par la rotation d centre C et d’angle : le triangle DEC est donc 3 i π -1 B 0 π . 1 x isocèle en C, avec un angle en C de 3 C DEC est donc équilatéral. 2 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php -1 Terminale S Amérique du Nord, Juin 2007 Sujets de Bac 3. Exercice 2 (spécialistes) Soient A, B et C

OI = CO = BA  = DE  ; OA  = DO = CB  = EI. uuur uuur uuur uuur ur u b. OB  = OA  + AB = OA  – OI. µ  =  p  ; IOB µ = 2 p  = AOC µ  = IOD µ  = DEI µ  ; c. IOA 3 3 µ  = p ; CEI µ  =  p . IOC 2 6 a. AB =  42 + 32  = 5 ; AC =  72 + 1 = 5 2  ; BC = 5. Le triangle ABC est rectangle isocèle en B. 3 5 b. K(  ; ) 2 2 c. D(1 ; –1). ABCD est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur et perpendiculaires : c’est un carré. d. KA = KB = KC = KD. Le cercle de centre K passe par les 4 points A

Droite d’Euler On considère un triangle ABC, montrer l’alignement de l’orthocentre H, du centre de gravité G et du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC. On pourra considérer le point D diamétralement opposé au point B, et B’ le milieu de [AC]. 2. n Symétrique de l’orthocentre On considère un triangle ABC. Soit O le centre du cercle C circonscrit à ABC et H son orthocentre. On se propose de démontrer que les symétriques du point H par rapport aux côtés du triangle sont sur C. 1) Le point D étant

deux antécédents de A par f . 3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z du point M soit un nombre imaginaire pur. 4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des points M distincts de Ω pour lesquels le triangle ΩM M est rectangle isocèle direct en Ω. z −1 = i. z −1 (b) En déduire que M est un point de Γ3 si et seulement si z 2 − iz − 1 + i = 0 et z = 1. (a) Montrer que M est un point de Γ3 si et seulement si z = 1 et (c) Montrer que z 2 − iz − 1 + i =

Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment en son milieu Donc I est le milieu de [AB] On sait que (D) est la médiane passant par A dans le triangle ABC et que (D) coupe [BC] en I Propriété : Si une droite passant par un sommet d’un triangle est une médiane du triangle alors elle coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu. Donc I est le milieu de [BC] On sait que ABCD est un parallélogramme de centre O Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme

Réunion / Mayotte ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points) Exercice 1 : 1. a) Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AC]. D’une part AC2 = 152 = 225 D’autre part AB2 + BC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225 2 2 2 Donc AC = AB + BC D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. b) Voir figure en fin d’exercice. 2. a) Voir figure en fin d’exercice b) Dans le triangle ABC, les points A, E, B d’une part et A, F, C d’autre part sont alignés dans le même

de l’unique symétrie axiale transformant A en B. B Les triangles Triangles isocèles, équilatéraux, rectangles Définitions Soit un triangle ABC. Ce triangle est un triangle isocèle de sommet A si : AB = AC. Ce triangle est un triangle équilatéral si : AB = AC = BC. Ce triangle est un triangle rectangle de sommet A si : (AB) ⊥ (AC) (le côté [BC] est alors l’hypoténuse du triangle ABC). Propriété Le triangle ABC est un triangle isocèle de sommet A si et seulement si : ABC = ACB. Séquence