Triangle

une base 3) Les points A, B et C sont ils alignés 4) Le triangle BCD est il rectangle en B. est il isocèle 5) Déterminer les coordonnées du point E uuu pour parallèlogramme r que ABED soit uuurunuuur 6) Déterminer les composante du vecteur AE dans la base ( AB , AD ) EXERCICE N°4 r r Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, i , j ) . On considère les points A(−1,1) , D(1,-5) et P(-4,0) 1) Montrer que A, D et P forme un triangle 2) Montrer que ADP est rectangle en A 3) a) Soit C(7

(y ! y I )2 = R2 . 2.3. Relation métriques du triangle. ! ! ! ! ABC est un triangle ; selon l’usage, on note AB = c , AC = b , BC = a , A = BAC , B = ABC , ! ! C = ACB et S l’aire du triangle. Théorème : ABC est un triangle ; on a ! a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Remarque : Par permutation circulaire des lettres A, B et C, on obtient deux autres relations : ! ! c2 + a2 – 2ca cos B et c2 = a2 + b2 – 2ab cos C b2 = Théorème : ABC est un triangle ; I est le milieu de [BC]. On a AB2 + AC2 = 2AI2

ID = 11,2 cm ; AB = 6 cm. La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur et il est inutile de la reproduire. 1) Montrer que le triangle IAB est rectangle en A. D’une part IB[pic]= 10[pic]= 100 D'autre part AI[pic]+ AB[pic]= 8[pic]+ 6[pic]= 64 + 36 = 100 Puisque IB[pic]= AI[pic]+ AB[pic], alors d'après la réciproque de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 2) Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? Justifie ta réponse. D’une part [pic][pic][pic] D’autre

d'Euler : sin4 x = = eix − e−ix 2i 1 4ix (e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix ) 16 1 4 QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2 (on a utilisé la formule du binôme de Newton avec les coecients de la 4e ligne du triangle de Pascal : (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 Ce qui donne, puisque eiα + e−iα = 2 cos α : 1 (2 cos(4x) − 8 cos(2x) + 6) sin4 x = 16 1 1 3 = cos(4x) − cos(2x) + 8 2 8 Alors, le reste est facile : 1 3x 1 I = sin(4x) − sin(2x) + 32

⃗ Propriété : Le cercle C de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que MA . Démonstration : III) Relations métriques dans un triangle Théorème : (Théorème de la médiane) : Soient A et B deux points et I le milieu du segment [AB]. 1 2 2 2 2 Alors pour tout point M, MA + MB =2 MI + AB 2 Démonstration : ̂ . Théorème : (Théorème d'Al-Kashi) : Soit un triangle ABC avec les notations ci-contre. Alors a 2=b 2 + c 2 −2 b c cos A Remarque : • Ce théorème généralise celui de Pythagore. ̂ ) • La propriété

quadrilatère KMLN est un parallélogramme. Exercice n°2 D est le milieu de [CB] et AD = 4 cm. Calculer, en justifiant, le périmètre du triangle ABC. Exercice n°3 Figure à faire sur papier blanc !!! 1) Tracer deux droites sécantes (d) et (d’). Placer un point R non situé sur ces droites. Placer les points A et T tels que les droites (d) et (d’) soient les médiatrices du triangle RAT. Exercice n°4 Un carré magique de produits est tel que les produits des nombres écrits sur chaque ligne, sur chaque colonne

demandé. A B R K L I H Figure 11 5 C Figure 12 : On veut inscrire un cercle dans un triangle quelconque ABC Il faut premièrement trouver le centre du triangle, qui sera le centre du cercle inscrit : divisez l’angle ABC, c’est-à-dire, l’angle B du triangle, en deux parties égales, par la méthode de la figure 13 ; divisez aussi l’angle ACB, c’est-à-dire, l’angle C du triangle, en deux parties égales ; les lignes BG et CE, qui divisent les deux angles , se coupent au point F : ce

Vous devez rédiger sous la forme               Je sais que             Si . alors …………             Donc Exercice 1 : Soit un triangle ABC quelconque, soit M le milieu du segment [AC] et soit K le symétrique du point B par rapport à M. a)      Quelle semble-être la nature du quadrilatère ABCK. Démontre le. La nature est un parallélogramme Choisis un outil parmi P1,P2,P3,P4,P5 et P6 page 266. on sait que m milieu de [AC] et de [BK] Si P3 donc ABCK est un parallélogramme b)      Prouve

La fonction Maxima pour le factoriel est « factorial » 3628800 3.3. Triangle de Pascal Ci-dessous les premières lignes du triangle de Pascal. Chaque coefficient est la somme des 2 coefficients situés au dessus. Compléter la ligne 5 du triangle n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 ... 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Les coefficients du triangle de Pascal sont les coefficients binomiaux La fonction Maxima pour obtenir

yeux et qui forme la tête d’une vache, le tracé du contour de la tête étant relié à celui qui contient les naseaux de la vache. Le corps de l’œil suivant qui est assis « par terre » est figuré par une grande tige pour le dos, et par une sorte de triangle isocèle pour ses jambes. Les bras du personnage ne sont pas représentés de la même manière puisque ce sont deux lignes simples – sans volume apparent – qui partent de l’intérieur de la tige. L’avant-dernier ensemble d’œil de la partie supérieure