Variété différentielle

Exercices sur la dérivee I) Soit la fonction numérique f définie sur l’intervalle [– 1 ; 2,5] par f (x) = 2x² – 3x + 4. 1. Déterminer f ’(x), dérivée de f. 2. Etudier le signe de f ’(x). 3. donner le tableau de variation de f. 4. compléter le tableau de valeurs suivants : |X |-1 |0 |1 |1,5 |2 |2,5 | |F(x) |9 |4 |3

déduire que pour tout n Î * : un  ln 2  vn Puis que : l = ln 2 2 n +1 å k =1 (-1) k -1 x k k Exercice 5 Quelques équations différentielles - Applications Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants avec second membre Soient a et b deux réels non nuls. On se propose de résoudre(1), sur , l'équation différentielle suivante : (E) : y' = ay + b où y est une fonction inconnue, définie et dérivable sur . 1. Soit ¦ la fonction définie, sur , par : Démontrer

... 4 SIMPLIFICATION DU PROBLEME SUR BASE DE L’ENONCE. ................................................. 4 EQUATION DU MOUVEMENT DE LA BALLE DANS LE PLAN (x,z). ........................................ 5 EXPRESSION DES EQUATIONS EN EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU 1er ORDRE................ 7 RAPPELS DES DONNEES INITIALES....................................................................................... 7 SANS PORTANCE ET SANS TRAINEE...............................................................

Evaluation N°: 6 Thème: Durée (en min): 50 Droites Sujet: C Note Classe: Nom: Prénom: Toutes les réponses aux questions doivent être justifiées. Les valeurs numériques seront laissées sous forme de fractions. Exercice 1 : ( 4 points ) 1. Tracer dans le repère ci-contre, la droite d'équation y = 0,5 x - 2 2. Déterminer par lecture graphique une équation de la droite D présentée dans le graphique ci-contre. Exercice 2 : ( 5 points ) 1. Déterminer une équation de la droite d1 passant par

TD d’Économie – Julien Grenet École Normale Supérieure Année 2007-2008 Vade mecum : Equations différentielles du premier ordre Cette annexe aux TD sur le modèle de Solow présente la méthode de résolution des équations linéaires du premier ordre et définit la notion d’état stationnaire. 1 1.1 Définitions Equations différentielles du premier ordre Une équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t)

0 π π 2. On donne E = 4 e−2t cos2 tdt et F = 4 e−2t sin2 tdt. 0 1 pt 0 a. Calculer E + F et E − F . 1 pt b. En déduire les valeurs exactes de E et de F . 1 pt PROBLEME Partie A : Equations différentielles 10 points On considère les équations différentielles (E ) : 4y ′′ + 4y ′ + y = x + 4 et (E ′) : 4y ′′ + 4y ′ + y = 0. 1 0,75 pt 2. Montrer qu’une fonction ϕ est solution de (E ) si et seulement si ϕ − u est solution de l’équation (E ′). 0,75 pt AT HS

la tension u(t) à ses bornes et le courant i(t) qui le traverse sont liés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants sans second membre (appelée "caractéristique" du dipôle) : pour un dipôle passif linéaire on a : si i(t)  u(t) alors α.i(t)  α.u(t). Exemple : Exemple (cas du courant continu, loi d’Ohm) : Les dipôles actifs correspondent à une équation différentielle avec second membre. Exemple (générateur de tension idéal) : u = e Les dipôles élémentaires

linéaire si l’équation liant la sortie à l'entrée est une équation différentielle linéaire à coefficients constants.  Aymeric Histace 5 1. Relation entrée/sortie des SL /  Equation différentielle générale d’un SL  Considérons un SL quelconque à une entrée et une sortie décrit par le schéma fonctionnel habituel :  La forme générale d l’é L f é é l de l’équation diffé ti ll reliant l’ t é à l ti différentielle li t l’entrée la sortie de ce SL est donnée par : Aymeric Histace

Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-055592-5 9782100547678-Fresl-TDM.qxd 8/07/10 12:27 Page III Table des matières Avant-propos IV Partie 1 Première période 1 2 3 Fonctions usuelles Nombres complexes Équations différentielles 3 29 49 4 Géométrie 59 Partie 2 Analyse © Dunod La photocopie non autorisée est un délit 5 6 7 8 9 Nombres réels, Suites Fonctions continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées

comportant plus qu'un élément réactif. Ainsi, par exemple, deux capacités en parallèle ne constituent pas un circuit du second ordre. 2 ANALYSE OPERATIONNELLE DES CIRCUITS LINEAIRES ET INVARIANTS équations font intervenir des équations différentielles du premier ordre (ou, en transformée de Laplace, des polynômes du premier degré), ce qui justifie leur appellation. Exemple 4.1 : Réponse libre d'un circuit RC Considérons le circuit de la figure 4.1. On suppose qu'en t=0 la capacité est complètement