Vecteur aléatoire

cours à usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 1.1 Quelques motivations La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/ 0 1/2 0 1/2 N  1/2 0 1/2 0  P = E   S  0 1/2 0 1/2  1/2 0

: 2. Ajouter les ondes Exemple sur la portion des ondes de même amplitude : • Et(x,y,z,t) = E0M cos(ωt-k1.r + φ1)u1 + E0M cos(ωt-k2.r + φ2)u1 Et = 2E0Mcos [ 1 (2ωt-(k1+k2).r + φ1+ φ2)] cos[ 1 ((k2-k1).r + φ1- φ2)] 2 2 Onde qui se propage avec le vecteur d'onde moyen ∆ϕΜ = ϕ - ϕ 1 2 3. Calculer l'intensité I = Et.Et = E20M + E20M + 2 E0M.E0M cos [(k2 – k1).r + φ – φ ] = 4E20M cos2 [∆ϕΜ/2] 1 2 => I présente des min et max 8 2.3. Définitions CHAMP D’INTERFERENCES : lieu des points où

4 3−i 2. arg(a − ω) = − 5π 6 47π 6 π 6 3. →− − → ( v , ΩC) = arg((ω − c)i) →− − → (− v , CΩ) 2π 3 b − 2i 4. ω= 1 (a + b + c) 3 a+b+c 5. b−d = a−d √ 3 i 2 l’image de Ω par la translation de vecteur → 1− AΩ. 2 Exercice 2 √ 3 − i 3 l’image de Ω par l’homothétie de centre A 3 et de rapport 2 (5 points) √ 3 i 3 l’image de Ω par la rotation de centre B π et d’angle − 6 6. Le point D est Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de

4 3 2 + 3 2 – 3 c. 3) 3) 3 – i(4 – 3) + i + 2 + 3 1+4+4 3+3 B Donc le quotient d. zA − zE est un nombre réel. zA − zF → 1 → A v -1 zA – zE est l’affixe du vecteur EA → zA – zF est l’affixe du vecteur FA z −z Comme le quotient A E est un nombre réel on en déduit que zA − zF → → les vecteurs EA et FA sont colinéaires. Donc les points A, E et F sont alignés. O 0 → u E1 C -1 D -2 -3 F Consulter gratuitement les corrections du baccalauréat et

07= 0,93 2. a) X est la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées. On a 5 cinq candidats donc cinq épreuves identiques avec probabilité d’être recrutée p=0,07 et celle de ne pas être recrutée : q=.0,93. X suit bien une loi binomiale de paramètre n et p : n=5 et p=0,07. b).Probabilité pour que deux des candidats soient retenus : P(X=2)= (52)(0,07)2 x (0,93)2 = 0,039. 3) Soit n le nombre minimum de dossier. Soit p(Z) avec Z la variable aléatoire pour le nombre de candidats embauchés

d’étudier comment a été établi le plan de sondage fournissant l’échantillon. Cela fait l’objet de la théorie des sondages et, pour plus de détails, on peut se reporter au livre de Droesbeke-Fichet-Tassi [5]. Le tirage le plus usité est le tirage aléatoire avec remise. Il consiste à tirer au hasard l’échantillon, unité par unité. Lorsqu’un élément est tiré, il n’est pas éliminé et participe au tirage suivant. Dans la suite, on suppose que l’échantillon a été obtenu de cette manière. 1.3.1 Modèle

méthode qui s’apparente à la démarche déductive. Connaissant la loi d’une variable ou d’un vecteur aléatoire, on sait calculer les valeurs exactes des paramètres qui la caractérisent, comme l’espérance ou la variance, et déterminer les lois de nouvelles variables ou vecteurs aléatoires fonction de la variable ou des vecteurs aléatoires donnés ainsi que les limites de suites de variables et de vecteurs aléatoires. La théorie statistique procède selon une démarche radicalement différente qui s’apparente

statistique : les modèles continues I. La loi normale Laplace-Gauss A. Définition de la loi normale B. Loi normale réduite centrée C. Détermination pratique des probabilités : Usage des tables statistiques D. Conditions d’application 1. Variable aléatoire normale 2. Théorème central limite Loi du Khi² A. Définition B. Tables statistiques C. Somme du Khi² indépendantes Loi de Student A. Définition B. Densité de probabilité de la loi de Student Loi de Fisher-Snedecor A. Définition B. Tables statistiques

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires AKadrani Institut National de Statistiques et Economie Appliquée (INSEA) Rabat, Avril 2013 Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Introduction Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: 1 Une famille (Xt

Métropole 15 juin 2007 (correction) E XERCICE 1 3 points   1 − 1. (P) a pour équation cartésienne : x + 2y − z + 1 = 0. Un vecteur normal à (P) est : → n  2 . −1   −1 → − (P’) a pour équation cartésienne : −x + y + z = 0. Un vecteur normal à (P) est : n ′  1 . 1 → −′ → −′ → − → − Alors : n .n = (1 × (−1)) + (2 × 1) + (−1 × 1) = −1 + 2 − 1 = 0 donc les vecteurs n et n sont orthogonaux. Les plans (P) et (P’) sont perpendiculaires. 2. Les deux plans étant perpendiculaires, ils se coupent