Vecteur d'onde

(au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires. Définitions Soit K un corps1,2, comme le corps commutatifQ des rationnels, celui, R, des réels3 ou celui, C, des complexes (on parlera dans ces cas d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe). Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois : • une loi interne « + » : E2 → E, appelée addition

O x0 x i Figure 1 1. Équation différentielle associée au système {solide, ressort} et solution. 1.1. Faire l’inventaire des forces exercées sur le mobile. Recopier sur votre copie la figura 1 en faisant apparaître ces différents vecteurs forces sans souci d’échelle. 1.2. Rappeler l’expression vectorielle F de la force de rappel du ressort en fonction de k, x et i . 1.3. En appliquant la seconde loi de Newton au mobile, établir l’équation différentielle du mouvement.

théorème de la quantité de mouvement : On appelle quantité de mouvement d’un point matériel de masse –m- se déplaçant suivant une trajectoire T, le produit de la masse par la vitesse du déplacement La quantité de mouvement a la même direction que le vecteur vitesse dont elle est issue Soit F la résultante des forces qui agissent sur un système de points matériels entre les instants t et t+dt, le principe fondamental de la dynamique conduit à : (1) Qui peut aussi s’écrire sous la formes :

par ea (t) = exp(at). Montrer que la famille (ea )a∈C est une famille libre d’éléments de l’espace F(R, C). Exercice 20 [ 00173 ] [correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N et f un endomorphisme de E tel qu’il existe un vecteur x0 ∈ E pour lequel la famille (x0 , f (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) soit une base de E. On note C = {g ∈ L(E)/g ◦ f = f ◦ g}. a) Montrer que C est un sous-espace vectoriel de L(E). b) Observer que C = a0 Id + a1 f + · · · + an−1 f n−1 | a0 , . . .

nilpotente. p 2. Soit a ∈ L (E). Montrer qu’il existe b ∈ L (E) tel que a ◦ b ◦ a = a. En déduire l’indice de nilpotence de φ . [003345] p Exercice 3346 Endomorphisme cyclique Soit E un ev de dimension n et f ∈ L (E). On suppose qu’il existe un vecteur u ∈ E tel que la famille f k (u) k∈N engendre E. 1. Montrer que u, f (u), . . . , f n−1 (u) est une base de E. (Considérer p maximal tel que F = u, . . . , f p−1 (u) est libre, et prouver que f k (u) est combinaison linéaire de F pour tout

OH. → → 3. Les vecteurs OG et OH sont alors colinéaires, si les trois points O, G et H ne sont pas confondus, on conclut alors qu’ils sont alignés. Dans le cas d’un triangle équilatéral, les droites remarquables du triangle sont confondues, donc les trois points O, G et H sont confondus. Exercice 2 : Dans un repère (O, i , j ) du plan : → → → → → -1 -4 -3 → → a) AB  -2  ; AC  -8  ; BC  -6  d’où AC = 4 AB ( BC = 3 AB )    →    → Donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires

A; F dépend de A et de B; B intervenant par sa grandeur extensive ou quantité X: F = X Z Z est la force s'exerçant sur l'unité de quantité est appelé intensité (ou simplement valeur) du champs de A au point P; c'est une grandeur vectoriel (vecteur champs) qui dépend des caractéristique de A et de la position du point P. Champs uniforme lorsque l'intensité du champs a, en tout point du champ , même direction, même sens, et même intensité, on dit que le champs est uniforme B. Champs

Chapitre 1 LES BASES DE L'ELECTROCINETIQUE Notations utilisées dans le cours : Sauf précisions, on utilise les notations conventionnelles suivantes : "minuscules" : u, i, p, … : grandeurs fonctions du temps, en remplacement de u(t), i(t), p(t), … "MAJUSCULES" : U, I, Umoy, … : grandeurs indépendantes du temps. "Caractères gras" : E, B, F, … : grandeurs vectorielles, en remplacement de [pic] "Caractères soulignés" : U, I, Z, … : grandeurs complexes associées à des grandeurs sinusoïdales.

direction de la vitesse en B. L'équiprojectivité permet de déterminer la norme de la vitesse en B. Méthode La projection du vecteur VA1/2 sur (AB) donne le segment d. Reporter le segment d au point B Tracer la perpendiculaire à la droite AB à l'extrémité du segment d. L'intersection entre la perpendiculaire et la direction de VB1/2 donne l'extrémité de ce vecteur. CENTRE INSTANTANE DE ROTATION (C.I.R.) : COMPOSITION DES VITESSES : Exemple de Relation de composition des vitesses

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur