Zéro

Depuis des semaines, on parlait d'un malaise. Le républicain Chuck Hagel n'avait jamais réussi à s'installer totalement dans son poste au Pentagone, ni à vraiment percer la cuirasse du petit cercle hermétique qui tranche les décisions de sécurité nationale à la Maison-Blanche. On le disait peu loquace pendant les débats internes de la «situation room», plutôt un exécutant des décisions présidentielles qu'un décideur majeur. Le chef d'état-major Martin Dempsey semblait de plus en plus prendre l'ascendant

vides, points d’interrogation, etc.), consultez la page d’aide Unicode. Les chiffres romains étaient un système de numération utilisé par les Romains de l'Antiquité pour, à partir de seulement sept lettres, écrire des nombres entiers (mais pas le zéro, qu’ils ne connaissaient pas ; ou plus exactement qu’ils ne considéraient pas comme un nombre). La numérotation a été normalisée dans l’usage actuel et repose sur quatre principes : • Toute lettre placée à la droite d’une autre figurant une valeur

peut prendre deux valeurs possibles, ‘0’ ou ‘1’. Il est à la base des codes que nous allons présenter. 5.1.2 Mot Un mot est un ensemble de bits agencés de sorte à représenter un objet dans un code. Le mot ‘0110000’ représente le caractère ‘0’ (zéro) en code Ascii (voir le chapitre 7), ou le nombre 48 dans la représentation dite décimale des entiers. 85 5 - A R I T H M É T I Q U E B I N A I R E 5.2 Codes analytiques Les codes analytiques sont utilisés pour représenter les nombres

en donner des valeurs approchées, parfois précises (on utilise alors la convention d'arrondi qui dit que x = 1, 230 signie que 1, 23 est une valeur approchée de x à 0, 0005 près, Techniques de calcul dans R p. 2 et l'on remarquera que le zéro de droite est signicatif dans ce cas) et parfois fort médiocres, telle H = 73 ± 4 km/s/Mpc (il s'agit de la meilleure ( !) estimation actuelle de la constante de Hubble). 2 Opérations algébriques. 2. 1 Règles élémentaires, quotients. Les démonstrations

Preuve Puisque la suite des sommes partielles (Sn ) est convergente, de limite S, n→ + ∞ an est convergente, alors lim an = 0. n→+∞ lim Sn − Sn−1 = S − S = 0 = n→ + ∞ lim an . K ® Remarque Lorsque la suite (an ) ne tend pas vers zéro, on dit que la série an est grossièrement divergente. Il est bon de connaître l’exemple suivant, bien qu’il soit hors programme. Il montre en particulier que la réciproque du théorème précédent est fausse. Exemple Série harmonique 1 La série est

Mais alors, comme les valeurs des restes possibles sont prises dans l'ensemble ( 1,2,3..., b-1 ] ; au bout de la b-ème division, au plus, il existera p, s E (0,1,2...b-1 ) tels que rp = r,. Car il y a b restes et seulement (b-1) valeurs possibles (le zéro étant exclu!). Ainsi le processus de division effectué après la k-ème et celui effectué après la p-ème sont identiques. Puis on recommence indéfiniment.Ce qui donne une écriture décimale illimitée de x. x = a o a l ...ak, ak+l ... apP1P2...PnPlP2.

Limite infinie d’une fonction en un point droite d’équation y = 1. 2. a) À l’aide d’une calculatrice, on obtient : f(– 1,99) = – 99 ; f(– 1,999 9) = – 9 999 ; f(– 2 + 5 × 10–8) ≈ – 2 × 107. b) Ᏸ a pour équation x = – 2. Activité. Au voisinage de zéro 1. f(10–2) = 1 + 104 = 10 001 ; f(10–6) = 1 + 106 = 1 000 001 ; f(10–8) = 1 + 1016 ; f(10–10) = 1 + 1020. 2. f(x) est aussi grand que l’on veut (voisin de + ∞), dès que x est assez proche de 0. Application 1 1. Il semble que lim f(x) = 3. x → +∞

; b1 ) et z2 = (a2 ; b2 ) un nombre complexe z = (a; b) tel que a = a1 + a2 et b = b1 + b2 . On écrit : z = z1 + z2 , a = a1 + a2 et b = b1 + b2 11 12 M. El Hatri On appelle élément neutre pour la somme, l’ élément 0 = (0; 0) 2 R R appelé zéro tel que, pour tout z 2 C, on a z + 0 = 0. On établit que l’ élément neutre 0 est unique. IV. On appelle produit de deux nombres complexes z1 = (a1 ; b1 ) et z2 = (a2 ; b2 ), un nombre complexe z = (a; b) tel que a = a1 :a2 b1 :b2 et b = a1 b2 + b1

sur I, et tout nombre supérieur à M sera un autre majorant de f sur I. • Une fonction à la fois majorée et minorée sur I est dite bornée. Définition: Une fonction f, définie sur Df , sera dite paire (respectivement impaire) si: • Df est centré sur zéro (i.e. pour tout x ∈ Df , on a – x ∈ Df également). • Pour tout x ∈ Df , f( – x) = f(x) (respectivement f( – x) = – f(x) ). La courbe représentative de la fonction f admet alors l'axe des ordonnées comme axe de symétrie (respectivement l'origine du

fonctions polynômes P = Q signifie que : 1) deg P = deg Q 2) les coefficients des termes de même degré de P et de Q sont égaux 3° Racines d’une fonction polynôme Soit P une fonction polynôme de degré n, n ≥ 1. a - Définition Une racine (ou zéro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0. Déterminer les racines de P revient alors à résoudre l’équation P(x) = 0. b - Théorème Si le nombre réel a est une racine de P , on peut factoriser P (polynôme de degré n) par (x-a), c’est-à-dire qu’il existe