équation Deuxième Degré

des procédés industriels : Système réel Commande optimale et Commande prédictive Problème du contrôle optimal en continu et discret Indice de Performance Principe de Pontryagin Problème LQR (linear quadratic regulator) Approche de Hamilton-Jacobi Equation matricielle de Riccati, Commande à Horizon fini et infini. Commande prédictive sous contraintes. Etude de cas : Commande d’un échangeur thermique sous Matlab. Travaux pratiques : TP1 : Elaboration d’une commande LQR TP2 : Contrôle optimale d’un

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Cas particulier des systèmes avec retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chapitre 3 Systèmes du Deuxième Ordre 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Etude des pôles d'un système du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Réponses temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Systèmes d'ordre

Deux types de questions peuvent être posées sollicitant deux registres de mémoire : la mémoire événementielle et la mémoire sémantique. Le premier concerne des informations telles que des dates, des lieux ou des événements précis, alors que le deuxième nécessite une interprétation ou une analyse plus profonde des textes. Les deux exemples suivants illustrent cette distinction. Exemple 1 Extrait du texte : « Dès la crise de 1974-1975, une première rupture est intervenue : le ralentissement de

trouve : exp(sin(x)) = 1 + sin(x) + sin(x)2 2 + sin(x)3 6 + o(sin(x)3) = 1 + ( x− x3 6 + o(x3) ) + 1 2 ( x− x3 6 + o(x3) )2 + 1 6 ( x− x3 6 + o(x3) )3 + o (( x− x3 6 + o(x3) )3 ) = 1 + ( x− x3 6 ) + 1 2 ( x− x3 6 )2 + 1 6 ( x− x3 6 )3 + o ( x3 ) 1La deuxième ligne est présente uniquement pour expliciter les calculs, il vaut mieux éviter de l’écrire en pratique et passer directement à la troisième (dans laquelle on a regroupé les termes d’erreur ensemble). Les développements intérmédiaires donnent — (x−

9. Fonction rationnelle, France 2004 5 1. 10. ROC, Pondicherry 2005 6 1. 11. Aires, France 06/2008, 5 points 8 1. 12. Fonction intégrale, Liban 06/2008, 5 points 9 1. 13. Fonction intégrale, Pondicherry 06/2008, 4 points11 1. 14. Fonction, aire, équation, Polynésie 2006 12 1. 15. Approximation d’aire, Polynésie 2007 15 1. 16. Aires, Am. du Nord 2006 17 1. 17. Approcher ln(1+x), Antilles 2004 19 1. 18. Suite intégrales, France 2006 20 1. 19. Intégrales et suites, Am. Nord 06/2008, 4 pts 21 1. 20.

Strasbourg. © Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-055592-5 9782100547678-Fresl-TDM.qxd 8/07/10 12:27 Page III Table des matières Avant-propos IV Partie 1 Première période 1 2 3 Fonctions usuelles Nombres complexes Équations différentielles 3 29 49 4 Géométrie 59 Partie 2 Analyse © Dunod La photocopie non autorisée est un délit 5 6 7 8 9 Nombres réels, Suites Fonctions continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes

tous les ai sont des 1. Montrer que si p a une racine rationnelle αβ (avec α et β premiers entre eux) alors α divise a0 et β divise an . √ √ 2. On considère le nombre 2 + 3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel. Indications 7. 1. Calculer β n p( αβ ) et utiliser le lemme de Gauss. 2. Utiliser la première question avec p(x) = (x2 − 5)2 − 24. Correction 7. 1. Soit α β ∈ Q avec pgcd(α

dépendantes) du tableau 1 Statistiques de la régression Coefficient de détermination multiple 0.999937368 Coefficient de détermination R² 0.99987474 Coefficient de détermination R² 0.999849688 Erreur-type 0.005309372 Observations 7 Analyse de variance Degré de liberté Somme des carrés 1 1.125095588 5 0.000140947 6 1.125236535 Coefficients 2.996428246 -0.020045445 Erreur-type 0.003617728 0.000100338 Moyenne des carrés 1.125095588 2.81894E-05 Statistique t 828.262555 -199.7797736 Régression Résidus Total

idée repose sur l’existence d’une relation économique, appelée « Théorie Quantitative de la Monnaie » ou équation d’Irving Fisher. Cette dernière s’exprime ainsi : M.v = P.Y ou M.v = P.T M représente la masse monétaire en circulation (demande de monnaie) v la vitesse de circulation de la monnaie P le niveau général des prix, Y le volume de production ou de transactions (T) Où Cette équation souligne qu’une augmentation de la quantité de monnaie provoque de façon mécanique une hausse du niveau

différent 15°C tranformation 1 PA thermodynamique 50°C 1 PA L’état d’un système est donné par trois paramètre Pression P Volume V systéme tri variant Température T f (P,V, T) 0 si il existe *² deux notions de liberté système divariant PV=nRT *² *²équation d’état et P,V et T sont des variables d’état L’énergie interne d’un système (U) est la réserve totale d’énergie liée à sa nature chimique, sa masse et au condition physique dans lesquels il se trouve. Remarque : U englobe l’énergie de masse (E=mc²)