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|MODULE : ARITHMETIQUE COMMERCIALE |
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|RESUME THEORIQUE |

RAPPORTS ET PROPORTIONS
GRANDEURS PROPORTIONNELLES – PARTAGES PROPORTIONNELS

I RAPPORTS ET PROPORTIONS

I.1. Rapport

Le rapport d’une grandeur à une autre grandeur est le quotient du nombre (a) qui mesure la première par lenombre (b) qui mesure la deuxième.

En général, un rapport se présente sous forme de fraction et se compose de deux termes ;
le premier est le numérateur ou l’antécédent, le second est le dénominateur ou le conséquent.

Exemples
▪ Le rapport de 54 à 9 est [pic]

▪ Le rapport de 17 à 2 est [pic]

I.2. Proportion

La proportion est l’égalité formée de deux rapports

Exemples[pic][pic]
[pic]
Dans la proportion [pic] les nombres : -a et d sont appelés : les extrêmes ;
-b et c sont appelés : les moyens.

I.2.1 Propriétés des proportions

Lorsqu’on dispose d’une proportion, on peut effectuer différentes transformations.

2.1.1. Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal auproduit des moyens. Soit : [pic]
Réduisons les deux fractions au même dénominateur commun (b x d) : [pic][pic]
Chassons les dénominateurs. Il reste alors :

| |
|a x d= c x b |

Exemple : [pic]

2.1.2 Dans une proportion donnée, on peut permuter les extrêmes ente eux et les moyens entre eux.
Soit la proportion [pic]

Utilisons la propriété vueau 2.1.1

Elle nous permet d’écrire a x d = b x c. Or, si on change la place des 4 termes, on obtient le même résultat.

[pic].Cette dernière égalité est identique à la précédente.

2.1.3. Si deux rapports forment une proportion, on obtient un rapport égal aux deux premiers en prenant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs.

Soit laproportion : [pic]
On peut écrire [pic]

D’où [pic]
+
[pic]
__ ______________
a + c = bk + dk
a + c= k(b + d)
[pic]

Ce qui nous permet d’écrire finalement :

2.1.4 On obtient aussi un rapport égal si on utilise la différence

2.1.5. Multiplions les deux termes du rapport [pic]par le nombre relatif x et les deuxtermes du rapport [pic] par le nombre relatif y.
[pic]

[pic]

exemple :
Soit la proposition [pic]

Multiplions respectivement les rapports par :

X = 4
Y = -5
[pic]

[pic]

I.2.2.Suite de rapports égaux

Disposant de plusieurs rapports égaux, on peut former une suite de ces rapports égaux.
Soit [pic]
On peut formerune suite ayant la forme suivante :

I.2.3.propriétés des suites de rapports égaux

elles ont les mêmes propriétés que les propositions

Et d’une façon générale :

Soit la suite  : [pic]
Si on multiplie les termes de chaque rapport par un nombre relatif, on obtient :

[pic]
et on peut écrire sous la forme suivante :

II GRANDEURS PROPORTINNELLESII.1. Grandeurs directement proportionnelles

Deux grandeurs sont directement proportionnelles lorsque l’une devenant un certain nombre de fois plus grande (ou plus petite), l’autre devient le même nombre de fois plus grande (ou plus petite), c’est à dire dans la même proportion.

1.1 Exemple :
Le nombre d’heures de travail et le salaire de l’ouvrier.
Soit le tableau suivant :
|Salaire...
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