Automorphisme

naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres de uλ . L’endomorphisme e uλ est-il diagonalisable ? Solution : 1. L’application uλ est lin´aire, par lin´arit´ de l’int´gration. Comme

(isométries vectorielles, automorphismes orthogonaux) Soit E un espace euclidien. Soit f une application de E dans lui-même. On dit que f est une isométrie vectorielle (ou encore : un automorphisme orthogonal) si f est linéaire et si elle « conserve la norme », c’est-à-dire si : ∀ u ∈ E, f (u) = u . Les expressions « automorphisme orthogonal » et « isométrie vectorielle » sont donc synonymes. Toute isométrie vectorielle f de E est effectivement un automorphisme de E. Soit f un automorphisme orthogonal et soit

χf∗ = χf , Tr(f∗ ) = Tr(f), det(f∗ ) = det(f). Théorème. (Ker(f∗ ) = (Im(f))⊥ et (Im(f∗ ) = (Ker(f))⊥ . http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales 5 FORMES QUADRATIQUES 4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales f ∈ L(E) est orthogonal si si si si et et et et seulement seulement seulement seulement si si si si ∀x ∈ E, f(x) = x ∀(x, y) ∈ E2 , (f(x)|f(y)) = (x|y), f ∈ G L (E)

Programme de Mathématiques Lycée Marceau B) Applications linéaires 1 - Définition, propriétés immédiates des applications linéaires 2 - Composée de deux applications linéaires, réciproque d’une bijection linéaire. Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme. 3 - Sous espaces et applications linéaires : image et noyau d’une application linéaire. 4 - Projections : définition et propriétés des projections associées à deux sous-espaces supplémentaires. Caractérisation des projections par l’équation p 2

G, éléments de C2(R), telles que, pour tout couple (u, v) de R2, h(u, v) = F (u) + G(v). 2. Soit Ψ : (x, t) 7→ (u, v) = (x− ct, x + ct). (a) Vérifier que Ψ est un automorphisme de l’espace vectoriel R2. Dans la suite, Φ désigne l’automorphisme réciproque de Ψ. (b) Prouver que l’application Θ : f 7→ f∗ = f ◦ Φ est un automorphisme de C2(R2). 3. Soit f ∈ C2(R2) une solution de (I). (a) Calculer ∂f∗ ∂u , puis ∂2f∗ ∂v∂u . (b) En déduire que f est de la forme f : (x, t) 7→ F (x− ct) + G(x + ct) où

forme lin´aire, e e e d’un endomorphisme. Espace vectoriel L(E, F ) des applications lin´aires de E e dans F . Compos´e de deux applications lin´aires, r´ciproque d’une e e e application lin´aire bijective. D´finition d’un isomorphisme, e e d’un automorphisme. Lin´arit´ des applications v → v ◦ u e e et u → v ◦ u. D´finition du groupe lin´aire GL(E) e e ´ Equations lin´aires ; noyau et image d’une application e lin´aire. Description de l’ensemble des solutions de e u(x) = b. 21 Il convient d’illustrer

de E sur F est appelée isomorphisme d’espaces vectoriels. Les deux espaces vectoriels E et F sont alors dits isomorphes. – Un endomorphisme bijectif de E (c’est-à-dire une application linéaire bijective de E dans E) est appelé automorphisme de E. L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E). Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Si f est un isomorphisme de E sur F, alors est un isomorphisme de F sur E.

et dimension, c’est une base de E. Il existe donc une unique application lin´aire f telle que ∀i, f (xi ) = yi . On a e n n n n f i=1 ai xi = i=1 ai f (xi ) = i=1 ai yi = i=1 ai xi et f conserve la norme. C’est donc un automorphisme orthogonal. 3. (a) On a p ≤ n car la famille (x1 , . . . , xp ) est libre en dimension n. Comme on suppose p = n, on a ainsi p < n. On a dim(F ) = p (ind´pendance de xi ) et le cours indique que e dim(F ⊥ ) = n − dim(F ) = n − p G est aussi de

u(αx+βy) = e αu(x) + βu(y) pour tout (x, y) de E et tout (α, β) de K. (3.17) Un automorphisme de E dans E est une application lin´aire bijective u de E dans lui-mˆme. e e (3.2) Pour montrer que deux applications lin´aires u et v de E dans F sont ´gales, il suffit de v´rifier e e e qu’elles co¨ ıncident sur une base de E bien choisie. (3.18) Lorsque dim E < ∞, pour qu’un endomorphisme de E soit un automorphisme, il suffit que u 1. Formellement, u : E → F est dite injective lorsque deux ´l´ments

cette version (version 2,0) pour un cours de magist`re premi`re ann´e en 2005-2006, elle e e e e e est un peu rafraˆ ıchie et contient un peu plus de th´or`mes (des pr´cisions, notamment sur les singue e e larit´s essentielles, sur les automorphismes, et une d´monstration du th´or`me des nombres premiers) e e e e et davantage d’exercices. Pr´requis e J’utilise un peu de topologie sur C et les r´sultats de base sur les s´ries (voir le chapitre r´sum´, e e e e page 1). Les lecteurs