Bissectrice

d’égalité de l’inégalité triangulaire) : Si AC + CB = AB alors les points A, B et C sont alignés. 6) En utilisant une droite remarquable : Si chacun des points A, B et C possède une propriété qui caractérise une droite remarquable (médiatrice et bissectrice), alors ces points sont alignés. Exemple : AE = AF, BE = BF et CE = CF donc les points A, B et C sont équidistants des extrémités du segment [EF] donc ils appartiennent à la médiatrice (d) de [EF] donc ils sont alignés. 7) En utilisant une transformation

droite (AC) en E. 1. Construire la figure. 2. Montrer que DE = 3. 3. Démontrer que les angles [pic]et [pic]sont égaux. 4. Donner la nature du triangle DEB, puis en déduire que la demi-droite [BE) d'origine B contenant le point E est la bissectrice de l'angle [pic]. Exercice N°2 (4,5 points) L'unité de longueur est le centimètre. ABCD est un rectangle tel que : AB = 5 [pic] = 30° 1. Calculer BD et montrer que AD = 5 à. 2. Calculer l'aire exacte du rectangle ABCD. 3. On considère

mathématiques Classe de Quatrième L ES D ROITES DU TRIANGLE DÉMONSTRATION DE LA PROPRIÉTÉ DES HAUTEURS D’UN TRIANGLE ............. 2 DÉMONSTRATION DE LA PROPRIÉTÉ DES MÉDIANES D’UN TRIANGLE ............. 3 DÉMONSTRATION DE LA PROPRIÉTÉ DES BISSECTRICES D’UN TRIANGLE ......... 4 DROITES DU TRIANGLE ........................................................ 5 Droites du triangle Page 1 Cours de mathématiques DEMONSTRATION Classe de Quatrième DE LA PROPRIETE DES HAUTEURS D ’

………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………. EXERCICE: 3 ( 8pts)  Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 4cm, AC = 3cm et C = 30°  -1- Calculer B -2- Soit le point A le milieu de segment [ CE ] . Montrer que [BA) est la bissectrice de  l'angle CBE  puis en déduire ABE -3- La droite D parallèle à (BC) passant par A coupe (BE) en F   BAF CBA En déduire que : BAF = FBA a) Montrer que : =   b) c) Quelle est la nature de triangle

Correction THEME : EXERCICE - "LONGUEURS" DES HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE RECTANGLE La construction est laissée au soin du lecteur !!!! b) Calcul de BC : Dans le triangle ABC rectangle en A Nous avons, d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 BC = 100 = 10 BC = 10 ( cm ) Hauteurs du triangle ABC : a) Construction des hauteurs de ce triangle ABC : es Dans un triangle, une hauteur est une droite

triangle isocèle, les 2 angles de la base sont de même mesure- et la propriété inverse : si un triangle a les 2 angles de sa base de même mesure, alors il est isocèle. - Si dans un triangle, deux des éléments parmi hauteurs, médianes, médiatrices, bissectrices sont confondus, alors ce triangle est isocèle. (voir droites particulières ci-dessous). Le triangle équilatéral Caractéristiques : Triangle dont les 3 côtés et les 3 angles sont égaux (de même mesure) - Mesure d'un angle = 60° Construction

mais nous prévoyons d’afficher au tableau à l’aide du vidéoprojecteur 3 figures où apparaissent successivement des cercles tangents à 1, 2 puis 3 droites. Illustration : Les 2 dernières activités concernant la propriété d’équidistance de la bissectrice et la distance d’un point à une droite ainsi que les propriétés de la tangente à un cercle seront rappelées en début de séance. Cette activité est complexe dans la mesure où le lien entre le cercle fourni et les mesures des angles du triangle ne

des points M du plan tels (MI) // (BC) est la droite (IJ), avec J milieu de [AC] 5) L’ensemble des points M du plan équidistants deux droites sécantes fixes (D) et (D’) est la réunion des deux bissectrices des angles formés par (D) et (D’) (d’après la propriété caractéristique de la bissectrice d’un angle). d( M ,(D))= d(M ,(D’)) M€(∆)U(∆’)

[AB] en étant distinct de A et B Alors : ………………………………………………. ……………………………………………………….. 5. Bissectrice d’un angle Définition La bissectrice d’un angle xOy est la droite qui passe par O et qui partage cet angle en deux angles égaux. Propriété La bissectrice d’un angle est l’ensemble des points qui sont ……………………………… …………………………………………………….. Droites remarquables – Cours 2 Propriétés a. Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes. b. Leur point d’intersection est ………………. ………………………………………………………

point M sur l’un des cotés de l’angle et un point N sur l’autre coté. (…………….…. / 1 pt) 2. a Construire au compas la bissectrice (d) de cet angle MRN (laisser les traits de construction).(…………….…. / 1 pt) 3. La bissectrice (d) coupe [MN] en un point P. Calculer la mesure de a (………….……… / 1 pt) MRP. (d) 2. On rappelle la méthode en 3 étapes de construction au compas de la bissectrice d’un angle. 1 Tracer un arc de centre R. Il coupe [RN) en x et [RM) en y. y I M P 150° 2 Tracer 2 arcs