Codimension

p) ∈ (N )2 avec n > p, E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, E) vérifiant u ◦ v = IdF . a) Montrer que v ◦ u est un projecteur. b) Déterminer son rang, son image et son noyau. Dimension et codimension Exercice 19 [ 00172 ] [correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1, f un endomorphisme nilpotent non nul de E et p le plus petit entier tel que f p = 0. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que la famille (x, f (x), f 2 (x), . . . , f

Algébre linéaire:compléments M.el kati 20 septembre 2013 Table des matières 1 Application linéaire et sous-espaces vectoriels 1.1 codimension : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rang d’une application linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 . . . . 4 4 4 4 6 3 Dualité 3.1 Hyperplan et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bases duales . . . . .

0). a Montrer que la famille (fa)a2R est libre. s'il possede un supplementaire de dimension nie; tous les supplementaires sont d'ailleurs de m^me e dimension nie. 1 Je rappelle qu'un sous-espace vectoriel F d'un espace vactoriel E est dit de codimension nie + 88 CHAPITRE 5. ALGEBRE LINEAIRE, ENONCES 7. Soit 2 R n Q tel qu'il existe p 2 N avec non nul tel que : n 2 Q. p 2 Q. Soit n le plus petit entier (a) Montrer que X n ? n est irreductible dans Q. (b) Montrer que : (1; ; : : :;

d’un même sous-espace vectoriel sont toujours isomorphes. D22 2) Codimension, hyperplans. TH : d’après le corollaire 2 ci-dessus, si un sous-espace vectoriel F de E possède un supplémentaire de dimension finie, tous les autres supplémentaires ont la même dimension ; cette dimension est par définition la codimension de F. REM : si E est de dimension finie, codim F = dim E − dim F. DEF : un hyperplan de E est un sous-espace de codimension 1 (autrement dit, un sous-espace dont un supplémentaire est une

. . . . 1.1.3 Espaces de Thom . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Complexes et paires de Poincaré . . . . . . 1.1.5 Application de transfert . . . . . . . . . . . 1.2 Quelques théorèmes d’existence de plongements . . 1.2.1 Plongement en grande codimension . . . . . 1.2.2 Plongement de Poincaré . . . . . . . . . . . 1.3 Quelques conditions nécessaires . . . . . . . . . . . 1.3.1 Obstruction rationnelle à l’immersion . . . . 1.3.2 Multiplicativité de l’application de transfert 1.3.3 Classe d’Euler

base q-orthogonale de R4 . Exercice 16: Soit q ∈ Q(E) définie. Montrer que q garde un signe constant sur E. Exercice 17: On suppose que E est un R-espace vectoriel de dimension finie. Soit q ∈ Q(E) positive. 1: Montrer que Kerq est un sev de E de codimension rgq. 2: Application : Soient l1 , . . . , lp des formes linéaires sur E et q la forme quadratique sur E définie par q = p X 2 lk . Montrer k=0 que rgq = rg(l1 , . . . , lp ). Exercice 18: On suppose que E est un R-espace vectoriel de dimension

sur la codimension) Par définition, un hyperplan H de E est un sous-espace vectoriel de codimension ¯ 1. Son adhérence H est aussi un sous-espace vectoriel et, puisque contenant H, sa codimension vaut 0 ou 1. ¯ ¯ Si H est de codimension 0 alors H = E ce qui signifie que H est dense dans E. ¯ ¯ ¯ Si H est de codimension 1, puisque H contient l’hyperplan H, on a H = H et ¯ est fermé. donc H 2ème méthode (plus laborieuse) Par définition un hyperplan H de E est un sous-espace vectoriel de codimension 1. Il

d’un sous-espace vectoriel E de e codimension finie dans E, d’un hyperplan. Lorsque E est de dimension finie, dim E + codim E = dim E. ´ Etant donn´s un sous-espace vectoriel E de E et deux e sous-espaces suppl´mentaires F1 et F2 de E dans E, le e projecteur de E sur F1 parall`lement ` E d´finit un e a e isomorphisme de F2 sur F1 . Lorsque F est de dimension finie, d´finition du rang d’une e application lin´aire u de E dans F . Alors ker u est de e codimension finie dans E et rg(u) = dim Im u = codim

dimension est . Application très importante : si F et G sont deux sous espace vectoriel de dimensions finies de E, alors †‹ †‹ Définition : La dimension de l’espace ambiant diminuée de la dimension de F est appelée la Codimension de F : Un sous-espace de codimension 1 est appelé un hyperplan. Proposition est une base de une base de F, est une base d ; par conséquent, si E et F sont de dimensions finies, 1.8. Rang d’une famille de vecteurs. 1.8.1. Définitions. Définition: Le rang d’une famille

majorant. Ensemble A ordonné, m ∈ A, [a ∈ A, m ≤ a] ⇒ [m = a]. E espace vectoriel réel, M ⊂ E, ∀x, y ∈ M, ∀t ∈ [0, 1], tx + (1 − t)y ∈ M. E espace vectoriel, M ⊂ E et ∀λ ∈ C tel que |λ| ≤ 1, λM ⊂ M. E espace vectoriel, H sous-espace vectoriel de codimension 1 de E . K est le translaté de H par un vecteur x ∈ E. V est la translatée d’un sous-espace vectoriel de E par un vecteur x ∈ E. E espace vectoriel sur un corps K, f application linéaire de E dans K. c Dunod. La photocopie non autorisée est un