Décomposition en produit de facteurs premiers

[αu(x) + βv(x)] dx = α a • b u(x) dx + β a v(x) dx. a Si u désigne une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et U une primitive de u sur [a ; b] b alors a u(x) dx = [U (x)]ba = U (b) − U (a). En utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b], démontrer la formule d’intégration par parties. Exercice no 11 Restitution organisée de connaissances (Asie 21 juin 2011) Pré-requis : p(A ∩ B) (où A et B sont deux évènements

de 7) étant {−7 ; −1 ; 1 ; 7}, on en déduit que n + 1 divise 3n − 4 si et seulement si n + 1 appartient à {−7 ; −1 ; 1 ; 7} soit n appartient à {−8 ; −2 ; 0 ; 6}. Exercice 3 : Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en utilisant l’algorithme d’Euclide. Correction Avec l’aide de Maple on a immédiatement : > ifactor(1640); ifactor(492); ( 2 ) 3 ( 5 ) ( 41 ) ( 2 ) 2 ( 3 ) ( 41 ) et le PGCD : 22.41 = 164 . Avec Euclide : 1640 = 492

multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux : a c ac × = b d bd EXEMPLE 5 18 5 × 18 5× 3× 3× 2 3 × = = = 12 25 12 × 25 3 × 2 × 2 × 5 × 5 10 Remarque : décomposer les nombres en produits de nombres premiers permet d’obtenir directement une fraction irréductible. 3° Division de fractions Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la deuxième : a c a d ad ÷ = × = b d b c bc EXEMPLE II. 8 4 8

calculateur quantique et demandent une mise en place plus complexe qu’un chiffrement standard, mais rendent toute interception de message immédiatement détectable. Que des calculateurs quantiques de taille intéressante soient possibles ou non à terme, leur premier avenir commercial ne sera probablement pas dans le grand public : le calcul quantique exige peu d’entrées et peu de sorties. Il ne se prête donc a priori qu'aux calculs dont la complexité réside dans la combinatoire. On trouve ces problèmes dans l’ordonnancement

nombre en premier (n+1), et ensuite le plus petit (n). (n+1)2- n2 → Donc cette solution est toujours valable. Exercice III : a) Le produit de ces chiffres est égale à 36. 2*3*62*2*9 3*3*41*1*36 1*6*61*2*18 1*4*91*3*12 b)Pour chacun des triplets faire la somme des diviseurs. 2+3+6=112+2+9=13 3+3+4=101+1+36=38 1+6+6=131+2+18=21 1+4+9=141+3+12=16 « trouver trois entiers naturels dont le produit est 36 et dont la somme est 14 » Les trois entiers naturels dont le produit et 36

2 Ecrire un programme qui calcule le PPCM de deux nombres a et b Exercice 3  Écrire un programme qui permet de décomposer en facteurs premiers un entier n lu au clavier. Exemple : Entrée : 48 Sortie : 2^4 x 3 Exercice 4 Tâche : Écrire un programme qui teste la primalité d'un entier naturel. Exemple : • Entrée : n=31 • Sortie : 31 est un entier premier Exercice 5 Ecrire un programme qui convertit un nombre d'une base donnée en une autre. Formattage de l'entrée : La première

avant une multiplication. Dans ce cas, on peut utiliser les parenthèses pour prioriser une opération. En effet, on doit toujours effectuer les opérations qui sont à l’intérieur des parenthèses en premier. Lorsqu’il y a plusieurs parenthèse une dans l’autre, on effectue toujours celle à l’intérieur en premier. (2 + 3) · 4 = 20 4(2(1 + 2)) = 24 (2 + 3) · (1 + 2) = 15 Il existe une autre technique pour effectuer des multiplications lorsqu’on utilise des parenthèses. Il faudra bien la maitriser car il

égaux si, et seulement si les « produits en croix » a × d et b × c le sont. b d Prouver, à l’aide de la méthode décrite, l’égalité des nombres 5– 3 2 et 3 5+ 2 Liaison 3ème/2nde Cahier de Vacances de MATHÉMATIQUES THEME 2 : CALCUL LITTERAL Objectifs • • • Reconnaitre la forme d’une expression. Développer et réduire une expression. Factoriser une expression * Exercice 5 : Reconnaitre la forme d’une expression Méthode pour reconnaitre une somme ou un produit En imaginant que l’on substitue

Cours d’arithm´tique e Premi`re partie e Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi D´cembre 2004 e Ce document est la premi`re partie d’un cours d’arithm´tique ´crit pour les ´l`ves pr´e e e ee e parant les olympiades internationales de math´matiques. Le plan complet de ce cours est : e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´quences e Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´s e Polynˆmes ` coefficients entiers o

Ecriture Littérales I. Développement (révisions) Définition : Développer un produit, c'est le transformer en une somme ou une différence. Propriété : Pour tous nombres a, b, c, d et k, on a : II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : Par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab +