Décomposition en produit de facteurs premiers

théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k     p  p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible car tous les facteurs sont strictement inférieurs

algébrique c’est l’écrire sous la forme d’un produit. ( mathématiquement c’est parfaitement la même chose, c’est juste une manière différente d’écrire mais ça peut être très utile dans de nombreux cas.) Ex : ka + kb = k (a+b) Les étapes de la factorisation : Trouver le meilleur facteur commun (qui peut être un chiffre, une lettre inconnue ou même les deux à la fois) Ecrire le facteur commun (c’est le 1er facteur de notre nouveau produit) Ouvrir une parenthèse et écrire

Arithmétique pour les non spécialistes et compagnie …. EXERCICE 1 Le rocher de Sisyphe Dans la mythologie grecque, Sisyphe doit porter chaque jour un rocher en haut d’une montagne, mais une fois en haut, le rocher roule de nouveau jusqu’en bas. Le premier jour, il a fallu cinq heures, en tout, pour monter le rocher au sommet et pour que celui-ci redescende. Chacun des jours suivants, il faut deux fois plus de temps pour monter le rocher que la veille (Sisyphe est chaque jour plus fatigué), et le rocher

15)2 N = x(x – 2) E = 3(5 + x)(32 + 5x) J = 4 – (x – 5)(3x – 5) O = (2x + 1)2(1 + x) Réponses : A, D, E, H, I, M, N et O. I. Factoriser avec un facteur commun 1) Le facteur commun est un nombre ou une lettre Méthode : Pour factoriser, il faut trouver dans l’expression un facteur commun. Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire si possible: A = 3x – 4x + 2x C = 4x – 4y + 8 E = 3t + 9u + 3 B = 4t – 5tx

Re(…); Im(…); abs(…); argument(…); Forme trigonométrique: polar(2,Pi/4); convert(3–I*4,polar); Arithmétique: Reste dans la division euclidienne: 22 mod 4; Pgcd, ppcm: igcd(…); ilcm(…); Décomposition en facteurs premiers: ifactor(12); (résultat: (22)( 3)) Nombres premiers: isprime(12); (réponse: false) ; ième nombre premier: ithprime(3); Polynômes: Evaluation: P:= x+1; eval(P,x=2); Factorisation: factor(x^3 – y^3); Simplification: simplify(…); Ordonner en puissances d'une variable: collect(…,x); Réduction

n4 + n2 + 1. On se demande si P (n) est un nombre premier ou non suivant la valeur de n. 1. Avec la calculatrice émettre une conjecture. 2. (a) Vérifier que pour tout X, X + 1 = (X + 1) − 2X. (b) En déduire une autre écriture de x + 1 puis une factorisation de x + x + 1 en un produit de deux polynôme de degré 2. 3. Résoudre les équations x2 + x + 1 = 1 et x2 − x + 1 = 1. 4. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, l’entier n4 +n2 +1 est-il premier ? Justifier la réponse. 4 4 2 2 2 2 Devoir maison

- 14x + 49\\ (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9\\ (5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9 * Calculer : 99² = (100 - 1)² = 100² - 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 - 200 + 1 = 9 801 3. Produit d'une différence par une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)(a + b) = a² - b² Démontrons ce résultat : * par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a - b)(a + b) = a × a + a × b - b × a - b × b = a²

Nombres Premiers ­ Un entier naturel n est premier si n 1 et s’il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n. ­ D´composer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c’est l’´crire sous la forme d’un e e produit de puissances de nombres premiers distincts. D´finitions : e Exemples : ­ 105 = 3 ¢ 5 ¢ 7. e 3 ¢ 5 ¢ 7 est la d´composition en produit de facteurs premiers du nombre 105. ­ 99 = 9 ¢ 11 = 32 ¢ 11 ­ 600 = 8 ¢ 3 ¢ 25 = 23 ¢ 3 ¢ 52 23 ¢ 3 ¢ 52 est la d´composition en produit de facteurs

a et b non nuls, pour tous entiers relatifs n et p, [pic] Remarques : ( [pic] ( [pic] car [pic] Ex : [pic] Méthode pour calculer un produit ou quotient de nombres relatifs : 1- chercher le signe puis supprimer toutes les parenthèses en mettant ce signe devant 2- décomposer tous les nombres à l’aide de puissances de nombres premiers 3- simplifier à l’aide des règles sur les puissances (4- donner le résultat avec une puissance positive). Ex : [pic] IV. Identités

: Effectuer les additions suivantes, en cherchant le plus petit dénominateur possible : Simplifier sans se tromper Simplifier une fraction ne signifie pas : "barrer ce qui est pareil en haut et en bas". On ne peut simplifier que ce qui est en facteur à la fois au numérateur et au dénominateur. Souvent, il faut donc factoriser avant de simplifier. Exemple : Les simplifications ci-dessous sont fausses : Voici les simplifications justes : Exercice 2 : Simplifier au maximum les fractions suivantes