Dérivée

Chapitre 3 Dérivées et primitives I- Rappels sur la dérivation 1) Nombre dérivé Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I , et a un nombre de I . f a  h   f a  admet h une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est alors notée f ' a  , et appelée le nombre dérivé de f en a. On dit que f est dérivable en a si le taux d’accroissement de f entre a et a  h : f a  h   f a  h f ' a   lim h0 Si f est dérivable en a , alors la courbe représentative

DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f(x) = -x2 + 16 pour x ∈ [-4 ; 4]. 1°) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité 1cm. 2°) On admet que la courbe (C) schématise un dôme à l'échelle 1/100. Sur ce dôme se trouve un mât d'une hauteur de 1 mètre. Quelles sont les coordonnées du point A représentant l'extrémité de ce mât ? 3°) Le point H de coordonnées (a

courbe représentative d’une fonction dérivable en un point. CAPACITÉS ATTENDUES Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé. Fonction dérivée. Dérivée des fonctions usuelles 1 et xn √x x (n entier naturel non nul). Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient. Calculer la dérivée de fonctions. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Extremum d’une fonction. Exploiter le sens de variation pour l’obtention d’inégalités. COMMENTAIRES Le nombre dérivé

courbe. Autrement dit : Le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe est f ( x) − f (a) l = lim pourvu que cette limite existe. Dans ce cas, le nombre l est x→a x−a appelé dérivée de la fonction f au point a. On le note f’ (a). En posant x = a + h on obtient une autre forme pour l’expression de la dérivée de la f ( a + h) − f ( a ) fonction f au point a f '(a ) = lim . h→0 h Définition 1. La limite finie de l’accroissement moyen de la fonction f entre a et a + h , quand h tend vers 0,

voir chapitre 3 : second degré. 1 1ère STMG Cours II. Fonction dérivée : Définition : Soit f une fonction du second degré définie par f (x) = ax2 + bx + c. On appelle fonction dérivée de f, notée f ’, la fonction définie sur ℝ par f ’(x) = 2ax + b. Exemple : Soit f définie sur ℝ par f (x) = 7x2 – 6x + 15. Les paramètres sont a = 7, b = –6 et c = 15. Comme a ≠ 0, f est bien une fonction du second degré. Sa dérivée a pour expression f ’(x) = 2×7x + (-6) = 14x – 6. Le paramètre c n’apparait

ordonnées ( donc elle n'a pas de coefficient directeur ) Fonction dérivée Définition : Soit f une fonction définie Df et soit I un intervalle inclus dans Df. On dis que f est dérivable sur I su elle est dérivable pour tout a ϵ I . On appelle alors fonction dérivées de f, la fonction f':x → f'(x) Dérivée des fonctions usuelles Fonction f F est dérivable sur... Dérivée f' f(x) = a avec a réel sur IR IR f'(x) = 0 f(x) = x sur IR IR f'(x)

B 1 B A 0 1 x 1+h III) Fonctions dérivées : cela signifie que la fonction est dérivable en tout nombre x de I. f '(x) existe ! a) fonction dérivée : définition : Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction qui associe à tout x de I le nombre dérivé f '(x) est appelée la fonction dérivée de f. On la note f ' Ex : Soit la fonction f définie sur telle que f (x) = (x – 3)2. Soit a un nombre réel. Déterminons la fonction dérivée f ' de la fonction f : On a pour tout

Constantes Dérivées de la forme ax Dérivées d'une puissance Dérivées des ln Dérivées des exp A. Constantes 1. Dérivation d'une constate Définition La dérivée de la fonction constante f  x =k est f ′  x =0 Exemple   3 est f ′  x =0 2 La dérivée de f  x =−5 est f ′  x =0 La dérivée de f  x = B. Dérivées de la forme ax 1. Dérivée de la forme f(x)=ax Définition La dérivée d'une fonction de la forme f  x =a x est f ′  x =a Exemple    La dérivée de f  x

la fonction de la variable x définie sur l'ensemble des réels par : f ( x )  x 5  10 x 4  25 x 3  64 . 1°) a) Déterminez la dérivée première de f sur IR. b) Déterminez l’élasticité de f par rapport à x en x1 = 1 et interprétez le résultat. 2°) a) Vérifiez que le point x2 = 0 satisfait à la condition nécessaire d’extremum local pour f. b) En utilisant les dérivées successives de f en x2, étudiez l’existence d’un extremum local pour f en ce point. page 2 

FONCTIONS DÉRIVÉES I. Savoir calculer une dérivée : • Exemple : Calculer la dérivée f ′(x ) dans chacun des cas suivants : f (x ) = 3x 4 + 5x − 1 g( x ) = 3 x h( x ) = • Méthode : On utilise les formules du calcul des dérivées. 3 x2 k ( x) = 2x + 1 x2 f(x) f '(x) f(x) f '(x) ax + b axn 1 x a naxn-1 1 − 2 x 1 2 x u(x) + v(x) u.v 1 u u v u'(x) + v'(x) u'.v + u.v' u′ − 2 u u′v − uv ′ v2 x • Solution : f (x ) = 3x 4 + 5x