Développement limité

LIMITES I. Notion de limites : Dans tout le paragraphe f est une fonction définie sur un ensemble noté Df . 1. Limite en a de f : (a ∈ D f ) Soit a un réel quelconque de Df . Le théorème suivant est admis : Si f est une fonction dérivable sur Df , alors pour tout réel a de Df : lim f (x ) = f (a ) . x →a Exemple : toutes fonctions polynôme ou rationnelle vérifient ce théorème ainsi : Soit f une fonction définie sur R par : f (x ) = 0, 5x 2 − 3x + 3 . Alors : lim f (x ) = f (2) = −1 . x →2

16 16 17 18 II limites II.1 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Limites des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.2 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.3 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.4 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Calcul de limites dans les cas de formes

créés à chaque étape, on peut démontrer également, par un simple raisonnement, par récurrence, que la surface de la courbe engendrée après n constructions est égale à où A0 représente l'aire du triangle équilatéral initial. Ainsi, par passage à la limite, le flocon de von Koch délimite une surface finie.  Le triangle de Sierpinski Cet ensemble fractal utilise comme figure de départ un triangle équilatéral. En utilisant les milieux de ses côtés, on définit ainsi un nouveau triangle central que

solution. Conclusion L'équation f(x) = k admet une seule et unique solution sur [a , b]. Théorème des gendarmes : Théorème : Si au voisinage de a, les fonctions f, g et h vérifient : g(x)œf(x)œh(x) Et si g et h convergent vers la même limite l en a, alors : \lim_{x » a} f(x) = l Démonstration : Soit J, un intervalle centré en L. * Puisque : \lim_{x »a} g(x) = l il existe un réél A \in ]€ ; +¸[ tel que, pour tout x>A : g(x) appartient à J. * Puisque : \lim_{x

2. On étudie le signe de la dérivée. 3. On calcule les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de la fonction pour les valeurs de x où f' change de signe. Enfin on est en mesure de dessiner son tableau de variations. Exemples : *** Etudier les variations de . 1. On calcule la dérivée. Ici . 2. On étudie le signe de la dérivée : , donc f' est positive lorsque . 3. On calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Ici, .

t 1 Donc lim ln x = lim 1 =0 car de la forme 1 . = t= t t ∞ x →∞ x t →∞ e x e e t t b. Déterminer les limites de h en 0 et + ∞. b. Limite en zéro. Ce n'est pas une forme indéterminée : comme lim ln x =−∞ ,alors lim h x=∞ . x→0 x→0 Limite en +∞ Forme indéterminée +∞ – ∞: on va factoriser ! h  x = x 1− e  ln x x  D’après la question de cours la parenthèse a pour limite 1, donc lim h x=∞ . x →∞ c. Étudier les variations de h sur l’intervalle ]0 ; +∞[. e x−e h est dérivable

choix de [pic] Conséquence : Si [pic] converge, l’unique réel l tel que [pic] est appelé la limite de la suite [pic]. On note [pic], ou [pic] (attention aux notations : dans les deux premières égalités, on a des suites en argument, dans la troisième, on a un terme). Pour dire « la suite [pic] converge », on peut dire aussi « [pic] admet une limite réelle ». Exemples de base : • Soit a un réel. La suite constante égale à a converge vers a

LIMITES Les calculs de limites et la recherche d'asymptotes ont été abordés en classe de première. Nous en rappelons les résultats essentiels. On constatera par ailleurs que, par simple comparaison avec les fonctions de référence, on peut déterminer facilement les limites d'une fonction donnée aux bornes de son ensemble de définition. 1. De quelles fonctions faut-il connaître les limites ? • Il faut connaître les limites en des fonctions de référence (racine, carré, cube et inverse) : Seule

CHAPITRE 3 Exercice 1 Limites de suites et de fonctions (page 56) Réponses a) lim f(x) = 4 . x→0 5 b) Pour tout x ≠ 0, f(x) = x – 5 et lim f(x) = – 5. x→0 1 c) lim – 2 = – ∞ donc lim f(x) = – ∞. x→0 x x→0 x d) lim e – 1 = exp’(0) = e0 = 1. x→0 x 1 Prérequis : « Vérifier les acquis » Prérequis testés Calculer une limite de fonction en zéro de façon intuitive. 2 Reconnaître l’existence d’une asymptote horizontale. a) lim x→+∞ 1 = 0 donc lim f(x) = 3. x→+∞ x– 1 en + ∞

f(2−x)=−4 ). Par ailleurs : f(2+x)=−4(2+x) ) f(2+x)=−8−4x ) f(2+x)=−4 ). On a bien, pour tout réel xÃ2 : f(2−x)=f(2+x). Donc la courbe C a pour axe de symétrie l'axe d'équation x=2. 3. Calcul des limites. On a : −4x=)=+õ;=+õ) )) donc : −4x )=+õ. De la symétrie axiale démontrée à la question précédente, on peut déduire : −4x )=+õ. 4. Calcul de la dérivée. Tableau de variation de f. On sait que si u est une fonction strictement