Diagonalisation

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 ; 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 ; 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦Mécanique des milieux continus - SYNTHESE 4 Contraintes principales Cas général : diagonalisation de matrice 1- Calcul des valeurs propres : contraintes principales Équation caractéristique 𝜆𝐼 ; 𝜆𝐼𝐼 ; 𝜆𝐼𝐼𝐼 2- Calcul des vecteurs propres : directions principales i =

vectoriels Bases d'un espace vectoriel Applications linéaires Projections - symétries -Systèmes linéaires Equations linéaires Déterminants - Matrices Matrices et applications linéaires Matrices et changement de bases Valeurs propres et diagonalisation d'une matrice Orthogonalité Eléments d'Electronique Probabilités et Statistiques -Diode - Transistors -Amplificateurs opérationnels Electricité Physique -Milieux conducteurs -Loi d'Ohm, Loi de Joule -Circuits électriques en régime continu

96 -0.67 0.92 -0.41 -0.82 1.00 PLP | -0.86 0.77 -0.83 0.72 -0.55 -0.75 0.83 1.00 -----+-------------------------------------------------------| PAO PAA VIO VIA POT LEC RAI PLP VALEURS PROPRES APERCU DE LA PRECISION DES CALCULS : TRACE AVANT DIAGONALISATION .. 8.0000 SOMME DES VALEURS PROPRES .... 8.0000 HISTOGRAMME DES 8 PREMIERES VALEURS PROPRES +------+--------+-----------+-----------+----------------------------------------------------------------------------------+ |NUMERO| VALEUR |POURCENTAGE|POURCENTAGE|

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 209 210 210 211 212 213 213 214 D Diagonalisation conjointe D.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . D.1.2 Cas particulier : Matrice symétrique . . . D.1.3 Norme de Frobénius . . . . . . . . . . . D.2 Diagonalisation d’une matrice symétrique . . . . D.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2.2 Algorithme de Jacobi . . . . . .

. . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 28 28 29 30 31 31 32 33 33 34 35 35 5 Diagonalisation des matrices et des endomorphismes 5.1 Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme 5.2 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice . . . . 5.3 Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . 5.3.1 Endomorphismes diagonalisables

principales à la main… (armez vous de patience...) Analyses en composantes principales - 1 mars 2010 p.15/44 14.L’ACP en résumé i J Tableau des données J J Matrice diagonale des valeurs propres Matrice de Corrélation J Diagonalisation J Matrice des vecteurs propres J J J Histogramme des valeurs propres i Les composantes principales Analyses en composantes principales - 1 mars 2010 p.16/44 15.Préparation du tableau des données : l Les données seront

libres famille génératrices, notion de base. Applications linéaires et matrices, Calcul matriciel et Rang d’une matrice. Changement de bases. - Calcul des déterminants. Résolution des systèmes d’équations linéaires. Polynôme caractéristique, diagonalisation. Module 2: Mathématique II Elément Contenu Fonctions d’une variable réelle et étude des courbes planes  L’ordre sur IR et ses propriétés : Borne supérieure et borne inférieure. Les suites réelles, critères de convergence. Théorème de Bolzano-Weiestrass

3 2 3 sous-espaces vectoriels de R , familles libres, bases des sous-espaces de R et R , produit 3 scalaire canonique de R , produit vectoriel, matrices 2x2 et 3x3, matrices de transformation du plan et de l'espace, déterminants 2x2 et 3x3, diagonalisation des matrices 2x2, équations différentielles linéaires à coefficients constants, développements limités. Introduction à l'informatique : Introduction à la notion et à la conception d'algorithmes, structures de contrôle de séquence, initiation au

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 103 106 107 110 114 114 115 115 117 117 8 Diagonalisation des matrices 8.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . 8.1.1 Calcul des vecteurs propres . . . . . . . 8.2 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Méthode pour diagonaliser une matrice 8.3 Matrices symétriques et diagonalisation . . . . 9 Applications linéaires 9.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Propriétés des applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 103 106 107 110 114 114 115 115 117 117 8 Diagonalisation des matrices 8.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . 8.1.1 Calcul des vecteurs propres . . . . . . . 8.2 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Méthode pour diagonaliser une matrice 8.3 Matrices symétriques et diagonalisation . . . . 9 Applications linéaires 9.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Propriétés des applications