Diagonalisation

d'endomorphismes, polynômes de matrices carrées 106 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 106 109 116 118 CHAPITRE 3 3.6 CHAPITRE 4 4.1 4.2 IV 68 Généralités Polynômes annulateurs Théorème de Cayley et Hamilton Idéaux de K [X] (PSI Applications de la diagonalisation 119 3.6.1 3.6.2 Calcul des puissances d'une matrice carrée Suites récurrentes linéaires simultanées du 1er ordre à coefficients constants 3.6.3 Suites récurrentes linéaires à coefficients constants Problèmes 119 Espaces préhilbertiens réels

coordonnées de ces Np points dans la base ACP (P1, P2, P3) ; ce qui nécessite le calcul de la matrice de passage de la base (A, B, C) à la base (P1, P2, P3). II.1 Matrice de passage et matrice de covariance La matrice de passage s’obtient par diagonalisation de la matrice de covariance C associée aux Np points [Escofier, 1990]. En effet, calculer la matrice de covariance revient à faire l’approximation que les Np points font partie d’un ellipsoïde à trois dimensions (Figure 3) ; en diagonalisant cette

DECOMPOSTION PRIMAIRE D’UN POLYNOME 1 Réduction d’endomorphismes Diagonalisation de matrices A. DAOUDI Notions abordées I. Matrice diagonale, valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice II. Sous-espace propre associé à une valeur propre III. Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme/matrice IV. Conditions de diagonalisation d’un endomorphisme/matrice Dans ce chapitre, on note RK  ou CK  . Pour )(, KN nMn   désigne l’ensemble des matrices carrées

- Chapitre 5 Valeurs propres et vecteurs propres Diagonalisation Table des mati`res e 1 Valeurs propres et vecteurs propres 1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2 La diagonalisation d’une matrice 2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 CNS pour qu’une matrice

intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation. Une matrice presque diagonale (on la dit alors matrice à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin. Une matrice diagonale d'ordre n possède de manière naturelle des colonnes propres

GL2 (Z) Diagonalisation : résumé MOSE 1003 COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2 EN 6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A −

s’écrivent « facilement », donc on tourne un peu en rond sur le même problème très longtemps. Obligation de manipuler des objets « mathématiques » pour représenter des phénomènes physiques. Revoyez au maximum l’algèbre linéaire (vecteurs, matrices, diagonalisation), les séries (vite fait, mais il est recommandé de très bien connaître les séries de Fourier), les équas diffs, etc. Je ne peux pas le faire à votre place ! Le cours de Maths I peut aider, bien sûr, mais il est indispensable de ne pas nécessairement

un axe expliquant moins de 10% de l'inertie générale sera rarement intéressant. Dans toutes les sorties des logiciels, les axes sont rangés dans l'ordre décroissant d'inertie (en fait dans l'ordre décroissant des valeurs propres obtenues après diagonalisation, mais il y a correspondance), de telle manière que le premier plan factoriel - constitué par les deux premiers axes factoriels - soit toujours celui qui est le plus riche en renseignements sur les propriétés du nuage étudié. Puis on peut proposer

mécanique du solide, • optique ondulatoire, • physique des ondes, • thermodynamique, • initiation à la mécanique quantique. Pour le parcours physique-chimie et physique, on trouve des cours de mathématiques appliqués*, où sont traités : • diagonalisation des matrices, • séries et transformées de Fourier, • intégrales doubles, triples, • fonction de plusieurs variables, • les opérateurs… *Les cours traités dans ces parcours peuvent avoir les mêmes intitulés que ceux du parcours mathématiques-physique

Propriétés ...................................................................................................................................................... 26 17. Diagonalisation d’une matrice ............................................................................................................. 26 Intérêt de la diagonalisation .......................................................................................................................... 27 Puissance n-ème d'une matrice........