Élément symétrique

composition interne et Loi de composition externe I-1 Loi de composition interne (L.C.I.) I-1-1 Définition Définition : Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne de E toute application définie de E 2 vers E , qui a tout élément ( a , b) de E 2 associe un élément c de E , appelé composé de a par b . On note c = a ∗ b . Exemples : 1) Dans E = {0,1}, on définit l’application ∗ par : a ∗ b = ab + b ∗ n’est pas une L.C.I. : 1 ∗ 1 = 2, 2 ∉ E On peut représenter la loi " ∗ " par le tableau

composition interne. Elle est associative, car le calcul montre que si x, y et z sont trois éléments de S, (x ∗ y) ∗ z et x ∗ (y ∗ z) x + y + z + xyz sont tous deux égaux à . Il est clair que 0 est neutre pour la loi ∗ et que tout élément 1 + xy + xz + yz x de S admet −x pour symétrique selon cette loi, qui est donc bien une loi de groupe (évidemment commutatif). Exercice 3 Il suffit de montrer que tous les éléments non nuls de A sont inversibles. Soit a ∈ A non nul et soit ϕ l’application de A dans

de cette matrice. 5) En conséquence : si dans une matrice diagonale, un des termes diagonaux est nul cette matrice n’est pas inversible. Ou encore : pour qu’une matrice diagonale soit inversible, il suffit que sa diagonale ne comporte aucun élément nul. 6) L’inverse d’une matrice diagonale A lorsqu’elle existe est une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont les inverses des termes diagonaux homologues de la matrice A. 7) A étant une matrice diagonale, est une matrice diagonale

Algorithme général de la décomposition LU On suppose que admet une décomposition , on a alors l’algorithme de décomposition LU suivant : Calcul de déterminant La décomposition permet aussi de calculer le déterminant de , qui est égal au produit des éléments diagonaux de la matrice si admet une décomposition Méthode de Gauss-Seidel lundi 29 mai 2006, par Nadir SOUALEM Toutes les versions de cet article : [English] [français] * Mots-clés: algorithme , convergence , critère d’arrêt , Gauss

.................................................. 5      Matrice de dimension  ; A a a a ⋮ a a a ⋮ a ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a a ⋮   a 1. Matrices particulières   Matrice nulle :  tous ses éléments a 0  Matrice carrée d’ordre n :  nombre de lignes = nombre de colonnes =      Page 1 sur 7 Matrice diagonale :  a 0 ⋮ 0 Matrice identité d’ordre   :   Matrice triangulaire supérieure :  a 0 ⋮ 0 a a a ⋯ 0

et de la jème colonne. 3. MATRICE NULLE, EGALITE, TRANSPOSITION On appelle matrice nulle de dimension (p, n), la matrice dont tous les éléments sont nuls c’est à dire : aij = 0 (1ip, 1jn) Deux matrices sont égales lorsqu’elles représentent, par rapport à des bases données, la même application linéaire. L’égalité A = B équivaut donc, pour les éléments de A et B, aux relations : A = B aij = bij (1ip, 1jn) On appelle transposée d’une matrice A, et on note tA, la matrice dont les

d’une matrice ✓ Plusieurs définitions de matrice particulière ✓ La somme de matrices ✓ La multiplication d’une matrice par un scalaire ✓ La multiplication de matrices Définitio n: Une matrice de format est un tableau rectangulaire ordonné de éléments disposés sur lignes et colonnes. rfois, on spécifie la taille de la matrice ici 3 Définitio Une matrice ligne est une matrice de forma n: Exempl e: Définitio Une matrice colonne est une matrice de n: format . Exempl e: 4 Définitio Une matrice

Matrice diagonale Une matrice est dite diagonale, si et seulement si, tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale. Matrice diagonale  Matrice triangulaire à la fois supérieure et inférieure. Matrice symétrique Une matrice est dite symétrique par rapport à sa diagonale principale (ensemble des tels que i=j) si  i  j =. Exemple : Matrice identité La matrice identité est diagonale et ne comporte que des 1 sur sa diagonale. Matrice

.17 Le tableau de Thrithémius..........................18 PROCEDES ACTUELS..............................21 Cryptographie asymétrique.........................22 exemple R.S.A. ..............................................25 Cryptographie symétrique...........................27 exemple D.E.S. ..............................................30 exemple hashage.............................................32 Cryptographie hybride...................................35 APPLICATIONS ACTUELLES

et un scalaire λ alors B = λ A, bij = λ.aij. III.Décomposition d’une matrice carrée en 2 matrices, l’une symétrique et l’autre antisymétrique A/ Définition Une matrice A est dite symétrique si pour tout i et j, aij = aji. Une matrice B est dite antisymétrique si pour tout i et j, bij = -bji et bii = 0. B/ Décomposition Toute matrice M se décompose d’une façon unique en A symétrique et B antisymétrique. aij = (mij + mji) bij = (mij – mij) 2 2 C/ Transposition des matrices On appelle matrice