Entier naturel

dite héréditaire à partir du rang n0 si lorsque pour un entier k n0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également. Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0. Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation)

(x) a même signe que g (x). 4. En déduire le tableau de variations de la fonction f . 5. Tracer la courbe C dans le repère (O ; ı ;  ). On prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées. Partie C Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations respectives x = 1 et x = n. 1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2 , est donnée par : n In = 2 n 1 ln x dx. x2

formule, un = f(n) permettant de calculer chacun des termes. Exemples : • Pour tout entier naturel . Le premier terme sera , le second , le 3e , le 15e . • Pour tout entier naturel n non nul, . Le premier terme sera , le second , … le 10e terme sera . b. Générer une suite par récurrence On donne le premier terme ainsi qu’une relation permettant de passer d’un terme à son suivant. Exemples : • Pour tout entier naturel n, on pose u0 = 2 et . Le premier terme est donné, . Le 2e terme sera , le 3e

certain entier naturel ) qui à tout entier naturel (respectivement tout entier naturel n n associe un réel u(n), noté . L'image d'un entier naturel par la suite u est appelé un terme de la suite u. Le réel u est le terme d'indice (ou de rang) n de la suite u. On dit que u est le terme général de la suite u. Notations - L'image u(n) d'un entier naturel n par une suite u est noté u . - Une suite u dénie sur N est notée (u ) ou plus simplement (u ). - Une suite u dénie pour tout entier naturel

−1, u1 = 1 1 et, pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 − un . 2 4 5 points 1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un ) n’est ni arithmétique ni géométrique. 2. On définit la suite (v n ) en posant, pour tout entier naturel n : 1 v n = un+1 − un . 2 a. Calculer v 0 . b. Exprimer v n+1 en fonction de v n . c. En déduire que la suite (v n ) est géométrique de raison d. Exprimer v n en fonction de n. 3. On définit la suite (w n ) en posant, pour tout entier naturel n : wn = a. Calculer w 0

Exercice 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On considère la suite (un ) d’entiers naturels définie par u0 un+1 = = 14 5un − 6 pour tout entier naturel n 5 points 1. Calculer u1 , u2 , u3 et u4 . Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ? 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+2 ≡ un (modulo 4). En déduire que pour tout entier naturel k, u2k ≡ 2 (modulo 4) et u2k+1 ≡ 0 (modulo 4). 3. 4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture

définie pour tout entier naturel \displaystyle{n} par \displaystyle{u(n) = 2n+1} est une suite. Il existe trois façons de définir une suite. 1. Définition explicite La suite \displaystyle{(u_{n})} est définie directement par son terme général : u_{n} = f(n) 2. Définition par récurrence Soient \displaystyle{f} une fonction définie sur \displaystyle{\mathbb{R}} et un réel \displaystyle{a}, une suite \displaystyle{(u_{n})} peut être définie par récurrence pour tout entier naturel \displaystyle{n}

1. Soit [pic]un réel strictement positif. Démontrer que, pour tout entier [pic], [pic] 2. Montrer que pour tout réel [pic] [pic]. Exercice 2 La suite [pic]est définie pour tout entier naturel [pic]par [pic] 1. Montrer que pour tout entier naturel [pic], [pic] 2. Quel est le comportement de la suite [pic]en [pic] ? Exercice 3 La suite [pic]est définie par [pic]. 1. Montrer que pour tout entier naturel [pic], [pic]. 2. Montrer que la suite [pic]est strictement décroissante

et de A, alors M’ appartient à la droite (CD). EXERCICE 4 : spécialistes (5 points) 1. a. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7n. b. Démontrer alors que (2005)2005 ≡ 7 (9). 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : (10)n ≡ 1 (9). b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix c’est à dire : N = [pic]= [pic]et on appelle S la somme de ses chiffres. Démontrer la relation suivante : N ≡ S (9). c

graphiques obtenues sur un tableur. On peut ainsi introduire l’idée de limite infinie (on peut trouver un seuil au-delà duquel les termes de la suite sont supérieurs à 10k, k entier naturel étant donné) ou finie (on peut trouver un seuil au-delà duquel l’écart entre les termes de la suite et la limite est inférieur à 10− k, k entier naturel étant donné). ch1_act1.ods, feuille « ProfesseurA ». a) Quand n devient grand, la suite (An) semble prendre des valeurs de plus en plus grandes. b) On a n0 = 179 et n1