Matrice diagonale

1) Définition Une matrice de taille n×p est un tableau de nombres (réels dans ce chapitre), n étant le nombre de lignes et p de colonnes. On note ai,j l’élément de la ligne i et colonne j de la matrice A. La matrice A peut se noter (ai,j). Ex : 1 2 4 9 3 5 7 6 8 1 5 2 A − = − − de taille 3×4. L’élément a2,3 vaut 7. 2) Matrices particulières a) Matrices ligne et matrice colonne Une matrice ligne est une matrice de taille 1×p. Une matrice colonne est une matrice de taille n×1. Ex

Fiche spé maths MATRICES. I) Définitions : On appelle matrice de dimension m*n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note ai,j le coefficient situé à l'intersection de la i-éme ligne et de la j-ème colonne. EXEMPLE : La matrice P = La matrice P est d'ordre 2x3, le coefficient a2,3 de la matrice P est a2,3 = 120. 1) cas particuliers. La matrice carrée : même nombre de lignes et même nombre de colonnes. EXEMPLE: La matrice M = La matrice ligne : matrice formée d'une seule

( x + y)   6 x + 3y = 0  b) M admet trois vecteurs propres linéairement indépendants : elle est donc diagonalisable. ou dim E − 3 + dim E 3 = 2 + 1 = 3 = dim þ 3 ; M est diagonalisable. ou M est une matrice carrée réelle symétrique, donc elle est diagonalisable. Il existe alors une matrice carrée inversible P d’ordre 3 telle que M = P D P −1 , avec 0 0 1 2 − 1 − 3  1 0 5      1  −1 D =  0 − 3 0  , P =  0 1 − 2  et P =  2 2 2 . 6  0 −1 2 0 3 1 1     1 −2  c)

Exercices - Matrices : corrigé Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls

Maths-Info à l’Université du Havre Gisella Croce 2 Table des matières 1 Systèmes différentiels linéaires 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Matrice fondamentale de solutions . . . . . . . . . . . . . 1.4 Etude de Y ′ (t) = AY (t) + B(t) . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Équations différentielles d’ordre p à coefficients constants 1.6 Etude des systèmes linéaires à coefficients variables . . . . 1

SYSTEME LINEAIRE Ax=b : un cas simple A est une matrice diagonale  a11   0  0     0  problème 0 0  0    0    0 aii 0 0    0  0   0 0 ann    x1   b1          x  =b   i  i     x  b   n  n solution bi xi = aii Algorithme Fonction x = diago(A,b) pour i = 1 jusqu' à n bi xi ← aii fait , i ∈ [1, n] A est de forme triangulaire  a11    a  i1   a  n1 0 0  0  aii

mati`res e 1 Matrices 1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Les diff´rents types de matrices . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.1 Les diff´rences de contenu . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.2 Les diff´rences de forme . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Les diff´rences d’orientation . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Matrices particuli`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Transpos´e d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.2 Matrice diagonale . . .

euclidien ........................................................... 2 I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2 I-2 Matrice d'un produit scalaire .......................................................................................................................... 3 I-3 Produit scalaire et norme euclidienne .........................................................

SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk Eiℓ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2 La diagonalisation d’une matrice 2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exemples 3.1 avec valeurs propres simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3