Matrice

E Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Feuille d’exercices n◦ 2 – calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III Matrices I 19 Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 B Définition générale . . . .

corps commutatif. On appelle matrice à éléments dans K, une famille aij iI , jJ d’éléments de K. I et J sont des ensembles finis. Si I= 1..n et J= 1..m , on peut disposer les éléments de la matrice dans un tableau rectangulaire à n lignes et m colonnes : A=  a11 a12   a 21 a 22    a  n1 a n 2  a1m    a2m      a nm   La matrice écrite possède n lignes et m colonnes ; on dit qu’elle est de type (n, m). L’élément aij de la matrice est situé à la ligne i et la

site pour les installer sur le vôtre. MATRICES PLAN I : Matrice associée à une application linéaire 1) Définition 2) Somme de matrices 3) Produit par un scalaire 4) Produit de matrices 5) Rang d'une matrice II : Anneau des matrices carrées 1) Définition 2) Matrice identité 3) Matrices particulières Matrices scalaires Matrices diagonales Matrices triangulaires Matrices nilpotentes Matrices inversibles III : Transposition 1) Définition 2) Propriétés 3) Matrices symétriques et antisymétriques IV : Changement

créé la matrice A à l'aide de la commande : « A=[1 5 9 13 ; 2 610 14 ; 3 7 11 15 ; 4 8 12 16] » En utilisant : « B(:,[1 3 4])=A(:,2:4) » , on obtient une nouvelle matrice B en utilisant la matrice A. La colonne 2 de A devient la colonne 1 de B, la colonne 3 de A devient la colonne 3 de B et la colonne 4 de A devient la colonne 4 de B. La formule ne fourni aucunes précision sur la 2e colonne de B, celle-ci se remplit donc de zéros par défaut. - On peut supprimer une colonne de la matrice A (ici

Exercice 2 1 e 2.1 Calcul de la puissance n`me de A. 1. Comme B= µ 3 −6 1 −2 ¶ et C = µ 2 −6 1 −3 un calcul rapide et sans commentaire particulier donne que : ¶ BC = CB = 0M2 (R) (1) Notez bien que les matrices B et C commutent. 2. _ • Montrons que la proposition Pn :"B n = B" est vraie pour tout entier n non nul. — L’initialisation est bien vérifiée car : B1 = B — Supposons que la proposisiton Pk soit vraie pour tout k ∈ [|1, n|] , n fixé dans N∗

22 23 23 23 3 Matrices 3.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 (Mn,p (K), +, .) est un K-espace vectoriel . . . . . . . 3.1.3 Sous-espaces des matrices diagonales et triangulaires 3.1.4 Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . 3.2 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Matrice colonne des composantes d’un vecteur . . . . 3.2.2 Matrice des composantes

l’utilisateur est de permettre les opérations arithmétiques sur les vecteurs et matrices, comme en mathématique. En calcul scientifique, on parle de calcul vectoriel. Un élément fondamental de l’apprentissage de MATLAB consiste donc à savoir effectuer des opérations matricielles de façon compacte, sans programmer de boucles sur les indices. Commençons par étudier différentes opérations pour assembler des vecteurs et des matrices. 1) Entrer le vecteur v ∈ R8 suivant v = [1,2,3,4,5,6,7,8]T (1) sous

équations et les systèmes d’équations. Il est possible d’entrer certaines fonctions ou certaines expressions à partir de modèles (/r) comme nous allons le voir pour les systèmes d’équations, mais également plus loin pour les intégrales, les dérivées, les matrices… Résolution d’une équation - dans le corps des réels - dans le corps des complexes solve(eq, var) var) Touches b31 Touches b3A1 cSolve(eq, La fonction solve retourne un résultat sous forme d’une, ou plusieurs égalités séparées par or

tableau 1 x 1, et pour définir une matrice 1 2 3 4 et la stocker dans une variable a, on écrit a= [1 2 3 4] et les opérations de l’addition, la soustraction, la multiplication et la puissance sont des opérations matricielles usuelles, aussi il existe un certain nombre de matrices prédéfinies sous Matlab. Les plus courantes sont, la matrice identité, la matrice m x n dont tous les éléments valent 1, la matrice m x n dont tous les éléments valent 0, et la matrice m x n dont les éléments sont aléatoire

Déterminer le noyau de f. 4) Quel est le rang de f ? 5) Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques de R3 et R4 Exercice 3   On considère l’application linéaire de R3 dans R3 , définie par : f(x, y, z) = (x + y + z, x – y +2z, x - 2y - z) 1) Trouver le noyau de f ? 2) En déduire Im f et rang f 3) f est-elle injective ? surjective ? bijective ? 4) Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3 5) Donner la matrice de f relativement à la base {(1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1)} de R3