Matrice

utilis´s e Alg`bre lin´aire les donn´es sont vues de mani`re abstraite comme un nuage de e e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants

Algèbre linéaire Sommes-nous dans la matrice ? Aller voir Matrix. Qu’est ce qu’un problème linéaire ? Demandons en premier lieu qu’est ce qu’un problème ? Soient E et S deux ensembles. L’ensemble E est l’ensemble des entrées ( ou des données) et S l’ensemble des sorties. Un problème P est un élément du sous-ensemble Ensuite, quand ce problème est-il linéaire ? Quand il existe une relation linéaire entre les entrées et le sorties. Illustration : la linéarisation d’un problème

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit défini pour tout ( ( ) ) par ( ) 1. Montrer que est linéaire. ( ). 2. Déterminer Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit ( ) définie pour tout vecteur ( ) ( 1. Montrer que est une application linéaire. ( ( )). 2. Donner une base de ( ), en déduire 3. Donner une base de ( ). Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3

TD n° 5 Déterminants de matrices carrées EXERCICE 1 ▪ Dét(I3) = 1. ▪ Dét(M1) = (– 1)dét = (– 1)(– 1)dét dét(I3) = 1, car la fonction déterminant est une forme alternée. ▪ Dét(M2) = 3dét(I3) = 3, car la fonction déterminant est une forme multilinéaire et que la matrice M2 est la matrice I3 à ceci près que la première colonne a été multipliée par 3. ▪ Dét(3I3) = 3 Dét(I3) = 27. ▪ C’est la même chose pour les matrices: N1 = , N2 = et N3 = Comme N1 a une colonne de 0, on a: dét(N1) = 0. Comme

ressources et la somme des emplois. L’intérêt principal du TES est de décomposer la consommation intermédiaire du produit. Il permet en effet une description de l’interdépendance entre les branches à l’aide de coefficients technico-économiques (matrice structurelle de l’économie qui est la base de notre sujet). Ce modèle joue un rôle essentiel dans les prévisions économiques permettant ainsi d’étudier les effets directs et indirects, branche par branche, produit par produit, sur les prix et sur

Support du cours de Dr. Lara Thomas Polycopié initial élaboré par Prof. Eva Bayer Fluckiger Dr. Philippe Chabloz Septembre 2009 2 Table des matières 1 Systèmes d’équations linéaires et matrices 1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode

23 23 3 Matrices 3.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 (Mn,p (K), +, .) est un K-espace vectoriel . . . . . . . 3.1.3 Sous-espaces des matrices diagonales et triangulaires 3.1.4 Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . 3.2 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Matrice colonne des composantes d’un vecteur . . . . 3.2.2 Matrice des composantes

622 CHAPITRE 22. CALCUL MATRICIEL OBJECTIFS ⊲ r`egles de calcul avec les matrices ⊲ calcul des puissances d’une matrice ⊲ calcul de l’inverse d’une matrice ⊲ formulation matricielle des SEL Introduction Dans le Chapitre 21 , nous avons vu qu’un syst`eme d’´equations lin´eaires est repr´esent´e par une famille (ai,j)1in 1jp de coefficients ainsi que par un second membre b = (bi)1in. Lors de la r´esolution d’un tel syst`eme, seuls les coefficients du syst`eme et son second membre sont

problème est l’étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices. Dans tout le problème, on fixe un entier ? ∈ ℕ∗ et on note ℳ? (ℝ) (respectivement ℳ? (ℂ)) l’espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille ? × ?. Si ? et ? sont deux entiers entre 1 et ?, on note ??,? le coefficient placé ligne ? et colonne ? dans la matrice ?. On rappelle que ? 0 = ?? . On note Tr(?) la trace de la matrice ?. Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V

page 16 1 produit de matrices , présentation matricielle de problèmes linéaires 2 Matrice de probabilité et gestion des stocks 3 Matrices des gains et choix de stratégie de production 4 Systèmes linéaires – Méthode de Gauss Leçon 6 : Matrice Inverse – Systèmes d’équations Linéaires page 19 5 Matrice inverse et système linéaire 6 Système linéaires : les 3 conclusions possibles 7 Puissance d’une matrice et application Partie 3 : STATISTIQUES