Produit scalaire

http://maths-sciences.fr Bac Pro indus CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur - sa direction : la direction du vecteur u est la droite (AB). - son sens : le sens du vecteur u est de A vers B. - sa norme : la norme du vecteur u notée : u est la mesure de la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction

de ⃗u . Propriété 1 : - Dans un repère orthonormé, le vecteur ⃗u de coordonnées (x ; y) a pour norme ∥⃗u∥=√ x2 + y 2 - Pour tout nombre réel k, on a ∥k ⃗u∥=∣k∣×∥⃗u∥ I) Définition et 1ère expression 1. Définition 1 2 2 2 2 Définition 2 : Le produit scalaire de ⃗u par ⃗v est le nombre réel noté ⃗u .⃗v défini par : ⃗u .⃗v = (∥⃗u∥ +∥⃗v∥ −∥⃗v −⃗u∥ ) 1 2 ⃗ . AC ⃗ = ( AB 2 + AC 2 −BC 2) ⃗ et ⃗ ⃗ , alors AB Remarque : Si on note ⃗u= AB v = AC Propriété 2 : Pour tous vecteur u⃗ par v⃗ , on a que si ⃗u=

http://jam.bouguechal.free.fr Diapositive 1 2/19/15 02:53:48 PM Bouguechal/Larbi/Lekic I 2012-2013 Cours de Physique PHYSIQUE I 1. Définitions 2. Quelques opérations simples sur les vecteurs 3. Vecteur libre et vecteur lié 4. Produit scalaire 5. Produit vectoriel 6. Produit mixte 29/08/2011 IPSA Bouguechal 2011Diapositive 2 2/19/15 02:53:49 PM M.Bouguechal/Larbi/Lekic 2012 cours de Physique I I 2012-2013 Cours de Physique 2 PHYSIQUE I 1. Définition générale : Un vecteur est un outil mathématique

Cours et exercices de mathématiques M.CUAZ , http://mathscyr.free.fr PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question 1 Soient A, B et C trois points distincts du plan. JJJG JJJG a) A, B et C sont alignés si et seulement si : AB ⋅ AC = AB × AC JJJG JJJG b) (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si AB ⋅ AC = 0 JJJG JJJG c) A est le milieu de [BC] si et seulement si : AB ⋅ AC = − AB 2 Question 2 Soit ABC un triangle équilatéral de

sont nulles. a b . On écrit de 2 Vecteurs de R2 ou de R3 → − → − R Les coordonnées d’un vecteur dépendent de la base ( i , j ). On peut alors démontrer : Théorème I.1 → → Si − u et − v sont des vecteurs du plan, λ un scalaire (=un réel) alors a − → u = , b a′ − → v = b′ implique − → → u +− v = a a′ + b = b′ a + a′ b + b′ et a → λ− u =λ = b Définition I.2 λa λb Si P est un point du plan, les coordonnées

Applications du produit scalaire I. Vecteur normal à une droite 1. Définition : D n u Dire que n ( n ≠ 0 ) est un vecteur normal à D de vecteur directeur u signifie que n est orthogonal à u . 2. Caractérisation d’une droite par un point A et un vecteur normal n : n M A M appartient à la droite passant par A et de vecteur normal n si et seulement si AM et n sont orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si AM .n = 0 . 3. Vecteur normal d’une droite d’équation ax + by +

Produit scalaire ! ! On se place dans le plan P muni d’un repère orthonormé O; i ; j . On notera P le plan de vecteurs associés. On supposera connue la notion de vecteurs, somme de deux vecteurs, de norme de vecteur, d’othogonalité, de projection orhogonale. ! ! Dans le repère O; i ; j orthonormé, on considère A ( 2; 4) B ( 1; 4) et C (2; 2) B C O A p ! ! ! ! ! Le vecteur AB = OB OA d’où AB (1; 8) et AB = 65; de même p p ! ! ! AC (4; 6) et AC = 52 et BC = 13. On en déduit que ABC est rectangle

de D, f(x) = g(x). 2. Opérations : Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg. Opérations : Opération | Notation | Definition | Definie pour : | Somme | f+g | xf(x)+g(x) | | Différence | f-g | x f(x)-g(x) | | Produit | fg | x f(x)g(x) | | quotient | | x | | 3. Composition de fonctions : Définition : Etant donné deux fonction f et g, la fonction gof (lire « g rond f ») est la fonction definie par L’ensemble de définition de gof est constitué de tous

un couple de fonctions (f, g) continues ` sur [0, 1] associe le produit scalaire: 1 1 t scal(f, g) = 0 f (t)g(t) 1 − 1 dt t Calculez pour tous i et j compris entre 0 et 15 le produit scalaire des fonctions xi et xj . Calculer la norme de la fonction √ pour ce produit scalaire. 3) D´terminer par l’algorithme de Gram-Schmidt les cinq premiers polynˆmes e o de la base orthonorm´e ´chelonn´e associ´e a ce produit scalaire (obtenus e e e e ` par orthonormalisation de la base canonique (ou

DM de mathématiques. Dérivation – Produit scalaire. Exercice 1 Pour les fonctions f suivantes, calculer f '( x) .( On ne demande pas les ensembles de définition de f et de f’’ et on présentera le résultat de façon à ce que le signe de f '( x) soit aisé à étudier ) 3 x 3 x 2) f ( x)  x2 x2 5 2x  5 (2 x  3) 4) f ( x)  5) f ( x)  3 (4 x  7) 2x  3 1) f ( x)  3) f ( x)  x 2  3x  7 x 2  3x  5 2 6) f ( x)   3x  1 x2 Exercice 2 1 3 On considère les fonctions