Série Z

1200 watts Série High Current Platinum Be Quiet Dark power pro P10 (Plus que 750 Watts) Corsair Série AX / AXi (La serie AX MK1 est aussi un excellent choix) AX1500i (AX MK3, Efficacité 80+ Titanium) Cooler Master Série V EVGA Supernova G2 Supernova P2 Kingwin Série Lazer Platinum PC Power & cooling Série Silencer (Seulement au dessus de 610 W) LEPA G1600 LDLC Série QS FLP BQ660+ Seasonic M12 II 650 / 750 / 850w (Ainsi que les versions EVO) Série Platinum (Edition

1 Dénitions Dénition d'une série entière : Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre

Table des matières I COURS . . iii 1 3 3 7 Séries entières 7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Le domaine de convergence simple d’une série entière est un disque au bord près . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Produit de deux séries entières . . . . .

[ 03310 ] [correction] an z n une série entière de rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n 1 Séries entières Rayon et domaine de convergence Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1 n 0 nn 3n z n! Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+ ∪ {+∞}. Déterminer le rayon de convergence de an z n . Exercice 2 [ 03054

transformée en Z Principes généraux en commande numérique 2 Échantillonnage Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num. • Rappels : L’opération d’échantillonnage implique une certaine perte d’informations… 3 Échantillonnage Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num. • Rappels : Période d’échantillonnage y (t ) → = y [n ] y (n T S ) 4 Échantillonnage Échantillonnage Aspects pratiques Transformée en Z Commande Num.

- L2/ECS 1. Z est élément de {0, 1, 2}. On a : P (Z = 2) = 16 4 4 × = 5 5 25 (les deux voitures sont disponibles). D’autre part, P (Z = 0) = 1 1 1 × = 5 5 25 (les deux voitures sont simultanément indisponibles). Enfin, on obtient : P (Z = 1) = 1 − P (Z = 0) − P (Z = 1) = 8 . 25 2. Remarquons que Y est à valeurs dans {0, 1, 2}. On calcule sa loi en utilisant la formule des probabilités totales. L’événement Y = 0 se produit si X = 0 ou bien si X ≥ 1 et Z = 0. Ces deux

convergente. n! zn Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C. Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série Théorème 23.2 1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. 2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle réelle. Pour cette raison, on note, pour tout nombre complexe z, ez la somme de la série qui définit ainsi la fonction exponentielle complexe. zn

d’éléments de K (K = R ou C). On appelle série de terme général un , notée un , la suite (Sp )p∈N définie par : p ∀p ∈ N Sp = un . n=0 Pour tout p dans N, Sp est la somme partielle de rang p de la série. Ainsi la série un est dite convergente si et seulement si la suite (Sp )p∈N converge, auquel cas sa limite S est la somme de la série ; on écrit alors : p ∞ S= un = lim p→∞ n=0 un n=0 et l’on appelle reste de rang p de la série la différence Rp = S − Sp . La série un est dite divergente lorsque la

PROBLÈME 1 Etant donné une série convergente cuk (x), on note R, (x) = zuk (x) son reste d’ordre n, pour k20 k=n+l n E N et on se propose d’étudier la série c Z?,(x). n20 PARTIE 1.1. On suppose que uk (x) = (- l)k Xk, où x E R. 1 1.1.1. Déterminer l’ensemble Z des x E R tels que la série c (- l)kxk converge et pr6ciser sa k20 somme s (- l)knk pour x E Z. k=O 1.1.2. En supposant que x E Z, expliciter R,(X), montrer que la série xR,(x) n20 converge et calculer

convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins pour z = 0 ; sa