Tangente

- Tangente Dérivée en un point Tangente IV 15 15 A. Dérivée en un point 1. Dérivée en un point Rappel On appelle nombre dérivé de f en a le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point (a,f(a)). On le note f'(a). Complément : Calculatrice pour calculer f'(a) Pour calculer la dérivée en un point avec une calculatrice de tyep CASIO, aller dans MENU RUN OPTN CALC. On calcule ici la dérivée en 2 de la fonction f  x = x 21 C'est à dire f ′  2 B. Tangente 1.

tend vers A sur Cf , la droite tend vers une position limite : c’est la tangente a Cf en A. La tangente a pour pente f (a) et passe par A, et ` a donc pour ´quation y = f (a)(x − a) + f (a). e Soient f d´rivable en a et A(a, f (a)). Le taux d’accroissement de f en a, e M ✻ A  O ı ✲ a Remarques : f (x) − f (a) existe dans R alors f est dite d´rivable e x→a x−a a ` droite en a (demi-tangente). Si les nombres d´riv´s ` droite et a gauche sont distincts, e e a `

développements limités 1) Somme 2) Produit 3) Composition 4) Quotient 5) Intégration et dérivation III : Utilisation des développements limités 1) Calcul de limites 2) Etude locale d'une courbe y = f(x) 3) asymptotes 4) Etude locale d'un arc paramétré a) Tangente b) Concavité IV : Développements limités usuels Annexe : Energie potentielle et stabilité d'un équilibre. I : Généralités 1– Définition f admet un développement limité au voisinage de 0 à l'ordre n si f est de la forme : f(x) = a0 + a1x + ... + anxn

4. Exercice 3 : (4 points) On considère la fonction g définie par [pic] et on note Cg sa courbe représentative. Dans chaque cas, dîtes si l’affirmation est vraie ou fausse. a) La dérivée de g est définie sur [pic]. b) La tangente à Cg en [pic] est horizontale. c) Pour tout x < ))on a : [pic]. d) La fonction g admet un minimum. Exercice 4: (4 points) Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f(x) = x + )). Démontrez que cette fonction admet un minimum

pour tout réel x. Déterminer une équation de la tangente à Cj au point d’abscisse 1. Donner l’approximation affine associée à j pour x proche de 1.En déduire une valeur approchée de j(1,1). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 4 (3 points) Soit k déf. sur D = ]2 ;+ ¥[ par k(x) = Calculer k ’(x) pour tout réel x de D. Etudier le signe de k ’(x) et dresser le tableau de variation de la fonction k. La courbe Ck admet-elle des tangentes horizontales ? Exercice 5 (0.5+2.5+1+2+1.5=7.5

intermédiaires) 6. Savoir déterminer à l’aide de la calculatrice un encadrement des solutions. 7. Déterminer l’équation d’une tangente à la courbe. 8. Savoir construire la courbe. ✓ Un bon usage de la calculatrice s’impose. ✓ Penser aux éventuelles asymptotes verticales et horizontales. 9. Tracer les asymptotes obliques et les tangentes avec soin. Liste des connaissances pour l’étude d’une fonction Les questions ne sont pas nécessairement posés dans cet ordre

est dérivable en a si lim x!a 1/3 2 b) Interprétation graphique. Le nombre dérivé f '(1) , lorsqu’il existe, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en 1. Ici f '(1) est le coefficient directeur de la demi-tangente à C f au point d’abscisse 1 puisque la fonction n’existe qu’à gauche de 1. Comme f '(1) = 0 , la demi-tangente à C f au point d’abscisse 1 est horizontale. 4) a) Montrons que lim+ x !"1 1 1 f ( x) " f ("1) = +# . x +1 On en déduit que f n’est pas dérivable

équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse a dans les cas suivants : 1) f (x) = 3x2 − x + 1 avec a = 1. 2x + 1 avec a = 3. x−2 √ x avec a = 9. 3) f (x) = x 2) f (x) = Exercice 3 : −x2 + 2x − 1 Soit f la fonction définie sur R∗ par f (x) = . x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1) Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale. 2) Existe t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient

ci-dessous. Soit P la parabole représentant la fonction f(x) = − x² + 4, représentée également dans le repère ci-dessous. 1) Vérifier que, pour tout réel x, u(x) × v(x) = f(x). 2) Déterminer graphiquement f '(1). 3) Le coefficient directeur de la tangente à P au point A est-il égal au produit des coefficients directeurs des droites Du et Dv ? Vous rédigerez soigneusement la réponse. Dv 5 y 4 P Du 3 A 2 1 x -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 Exercice 3 Soit f la fonction définie

directeur de la droite (AB) Si la variable est une durée, t est une vitesse moyenne Tangente : La tangente à la courbe au point A est la droite qui se rapproche le plus de la courbe ou « voisinage » de A Def : Le coeff directeur de la tangente au point d'abscisse a est appelé nombre dérivé de f en a. On le note f ' (a) Si la variable représente une durée alors le nombre dérivé est une vitesse instantané. Equation de la tangente : y=f’(a) X (x-a) + f(a) Fonction dérivé : Def : Soit f une fonction définie