Variable aléatoire

été apprécié” ; C =“au moins un épisode a été apprécié” ; D =“au moins un épisode n’a pas été apprécié” ; E =“au plus un épisode a été apprécié” ; F =“le seul épisode apprécié a été celui de la première série”. Exercice 1.2 Une certaine expérience aléatoire est modélisée par l’ensemble fondamental Ω et la probabilité P. On considère deux évènements A et B tels que P(A) = 0, 8, P(B) = 0, 4 et P(A ∩ B) = 0, 2. Calculer les probabilités de A ∪ B, A, B, B ∩ A, A ∪ B, A ∪ B, A ∩ B. Remarque : pour chacun

: sans réservation ou avec réservation préalable. 1. Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d’attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients. On modélise ce temps d’attente en minutes par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif. 1 On rappelle que l’espérance mathématique de X est égale à . λ Une étude statistique a permis d’observer que le temps moyen d’attente pour obtenir une table

Chapitre III variables aléatoires discrètes. 1. 1°) Un dé cubique D1 comporte 3 faces marquées 1, 2 faces marquées 2, 1 face marquée 3. On lance le dé D1, on note X1 le nombre obtenu, Déterminer la loi de X1 son espérance, sa variance. 2°) Mêmes questions pour X2 le nombre obtenu en lançant un dé D2 comportant 3 faces marquées 4, 2 faces marquées 5, 1 face marquée 6. 3°) On lance D1 et D2 simultanément, Calculer l'espérance de Z = X1+ X2. Vérifier en déterminant la loi de Z. 2. On

calculs sont trop complexes.  Les méthodes de simulation et de rééchantillonnage permettent de substituer à une étude théorique, une démarche expérimentale où les lois exactes sont approchées par des répartitions empiriques.  La simulation aléatoire consiste à engendrer sur ordinateur des échantillons artificiels, à effectuer pour chacun de ces échantillons les calculs nécessaires, qui sont ensuite synthétisés. 2 D’où vient le nom de Monte Carlo?  Travaux menés à Los Alamos  N

...................................................................................................................... 1 Introduction Un phénomène biologique sera entièrement déterminé si l’on connaît la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire donnée dans la population. On a alors deux cas de figure : soit la loi de probabilité suivie par X est connue a priori et on vérifie a posteriori que les observations faites à partir d’un échantillon sont en accord avec elle. C’est le cas par

Définition 2- Deux résultats de décomposition 3- Evènements indépendants 4- Exercices III- Variables aléatoires : généralités 1- Définitions 2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité 3- Couples de variables aléatoires 4- Variables aléatoires indépendantes 5- Exercices IV- Caractéristiques numériques des variables aléatoires 1- Espérance 2- Variance, covariance 3- Exercices V- Variables aléatoires usuelles 1- Loi de Bernoulli (p) 2- Loi binomiale (n, p) 3- Loi uniforme 4- Loi exponentielle

une variable aléatoire X définie sur un certain espace probabilisé (Ω, A, P) et admettant la fonction f pour densité. 2) Déterminer la fonction de répartition F de X. 3) Montrer que X a une espérance et que celle-ci vaut 1 . 2 4) a) Déterminer E((X – 1) 2). 3 – ln 2. 4 5) On appelle variable indicatrice d’un événement A, la variable de Bernoulli qui vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon. 1 On considère maintenant la variable aléatoire Y, indicatrice de l’événement (X ≤ ) et la 2 1 variable aléatoire

pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. 2) On effectue 9 forages. a. Quelle hypothèse doit-on formuler pour que la variable aléatoire correspondant au nombre de forages qui ont conduit à une nappe de pétrole suive une loi binomiale ? b. Sous cette hypothèse, calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de pétrole. En donner la valeur à 10 près. Exercice

régression d'une variable expliquée sur une ou plusieurs variables explicatives dans lequel on fait l'hypothèse que la fonction qui relie les variables explicatives à la variable expliquée est linéaire dans ses paramètres. Formellement, on modèlise la relation entre une variable aléatoire y et un vecteur de variables aléatoires x. De manière générale, le modèle linéaire peut s'écrire de la manière suivante : y désigne la variable expliquée. Le vecteur x désigne l'ensemble des variables explicatives

Probabilités - variable aléatoire ( à valeurs réelles) : Une variable aléatoire X à valeurs réelles est une fonction ℑ mesurable: X:Ω → R X −1 (B) ∈ ℑ (B= borrélien de R) - distribution d’une variable aléatoire : µ X (B) = P(X −1 (B)) UCL Devolder 5 1. Probabilités - fonction de répartition d’une variable aléatoire : Borrélien : B = (−∞, x ] µ X (B) = P(X −1 (B)) = FX ( x ) = P( X ≤ x ) - densité de probabilité d’une variable aléatoire : La densité f(x) d’une variable aléatoire