Variable aléatoire

Introduction On se situe dans le cadre des statistiques inférentielles. On étudie un échantillon d’une population et l’on cherche à en déduire des propriétés pour la population toute entière. Les variables statistiques qui décrivent la population peuvent être considérées comme des variables aléatoires dont la répartition est caractérisée par une loi de probabilité. Échantillonnage On sélectionne un échantillon de taille par tirage au sort de la population. On détermine les intervalles

4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 49 49 52 54 56 57 58 59 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète

..................................................... Calcul combinatoire des probabilités ........................................................ Conditionnement et indépendance............................................................ Variables aléatoires réelles ................................................................... Généralités. Loi d’une var ........................................................................... Espérance mathématique .....................................

Applications linéaires. 1.4 Probabilités 1. Probabilités conditionnelles. 2. Formule des probabilités totales. 3. Formule des probabilités composées. 4. Lois usuelles (schéma, lois, espérance, variance). 5. Techniques de manipulation de deux variables. 1 Lycée Alfred Kastler Année scolaire 2011/2012 Prépa ECE1 2 Enoncés des exercices Exercice 1 n désigne un entier supérieur ou égal à 1. On considère la fonction fn dénie, pour tout x réel, par : fn (x) = x5 + nx − 1. 1. Étudier

...................................................... 53 III-4 Simulation des variables aléatoires : ................................................................... 54 III-4-1 Simulation d’une loi uniforme sur [0,1] :........................................................ 55 III-4-2 Simulation d’autres variables aléatoires: .......................................................... 55 a- Simulation de variables gaussiennes : .................................................................

binomiale de paramètres (n, p), alors : E[X] = np & Var(X) = np(1 − p) = npq. Autrement dit, la somme de 2 variables binomiales indépendantes et de même paramètre p suit elle aussi une loi binomiale de paramètre p (voir le corrigé de l’exercice 2.9). Le lien Bernoulli-Binomiale rend ces formules élémentaires : l’espérance est linéaire dans tous les cas et la variance l’est ici puisque les variables X1 , . . . , Xn sont indépendantes. La propriété suivante découle d’ailleurs du même raisonnement : 

probabilistes de l’assurance vie 1. Les principales variables influant de la mortalité humaine 2. Un modèle probabiliste pour représenter la durée de la vie humaine 3. L'indicateur de survie 4. Le nombre moyen de vivants et la loi de survie 5. Autres fonctions probabilistes de l'assurance vie 6. Les facteurs de la mortalité humaine induits par l'assurance Enoncés et corrigés des exercices du chapitre 2 Chapitre 3 : L’actualisation en avenir aléatoire. Le capital différé et les annuités viagères 1. Le

mesurables mais peuvent être repérés par un numéro ou un code (par exemple : une couleur, une nationalité, une forme,…). Définition : Un caractère est quantitatif si ses modalités sont mesurables, elles sont alors repérées par les valeurs d’une variables statistique (par exemple : poids, taille, prix,…). Définition : Un caractère quantitatif est discret s’il ne prend que des valeurs isolées (par exemple, nombre d’enfants d’une famille) Définition : Un caractère quantitatif est continu s’il

« économétrie », comporte à la fois le terme « économie » (en tant que science) et le terme « mesure». Elle applique les méthodes statistiques aux données empiriques issues de l’observation de faits économiques, pour expliquer et prévoir l’évolution des variables. En reprenant Malinvaud (1970) : « l’économétrie utilise l’outil mathématique et l’induction statistique, pour vérifier des théories économiques ». L’objet de l’économétrie est donc de confronter une explication théorique à un ensemble de données

.... 3 I. FONCTION GENERATRICE, TRANSFORMEE DE LAPLACE, TRANSFORME EN Z ................. 3 I.1. I.2. I.3. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE : FONCTION GENERATRICE .................................................................. 3 VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE : TRANSFORME EN Z ............................................................................. 3 VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE NON NEGATIVE : TRANSFORMEE DE LAPLACE..................................... 4 II. LOI DE POISSON .....