Variable aléatoire

Les événements B et C sont incompatibles. 5 P^B,Ch=P^Bh+P^Ch= 2 + 17 = 19 . 34 34 34 C Objectif Approche de la notion de variable aléatoire dans un cas très simple. 1 OnappellerespectivementB,R,VetSlesévénements qui correspondent à l’obtention des couleurs bleu, rouge, vert et rose. P^Bh= 1 ;P^Rh= 3 ;P^Vh= 4 ;P^Sh= 2 . 10 10 10 10 2 On appelle X la variable aléatoire égale au gain. P^X = 10h = P^Bh = 0,1. 3 La probabilité de gagner de l’argent est égale à P^Bh+P^Sh=0,31 1. 3 Marie a effectivement

. . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 8 10 13 Variables qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.3 2 Statistiques bivariées : Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistiques bivariées : Corrélation et Régression Probabilité et Variables Aléatoires 2.1 Probabilités . . . . . . . . . . . . . .

choix. Je remercie aussi Mme Cédia Harnais pour son aide précieuse concernant l’écriture de ce mémoire avec LaTex. 1 Table des matières I II 1 Introduction 4 Théorie 6 Rappels de probabilités 1.1 Espace probabilisé . . . . . . . . 1.2 Variable aléatoire réelle . . . . . 1.3 Paramètres d’une loi . . . . . . . 1.3.1 Paramètres de position . . 1.3.2 Paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 12 12 13 2 Estimateur-estimation 2.1

d’un système de communication ENSI 2013 Transmission numérique, Introduction 4 Chapitre 1 Processus aléatoire Plan  Processus aléatoire  Processus stationnaire  Fonctions de corrélation et de covariance  Processus ergodique  Densité spectrale de puissance  Processus Gaussian  Bruit ENSI 2013 Processus aléatoire 6 Introduction  Dans le domaine de l’ingénierie il est notoire d’utiliser les modèles mathématiques pour

converge et que lim un = 1. n 1 Exercice 2 Dans cet exercice, p désigne un réel de ]0, 1[ et on note q = 1 – p. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé ( , A, P ), indépendantes et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. 1) On pose Z = Inf (X, Y) et on admet que Z est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé ( , A, P ). On rappelle que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité : (Z > k) = (X > k)

le taux de confiance. L'échantillonnage est une aide à la prise de décision pour les entreprises, l'État ou les collectivités locales. 1. Qu'est-ce qu'un échantillon ? Échantillon C'est le n-uplet  obtenu par n répétitions d'une même épreuve aléatoire. Exemple On lance n fois un dé et on note les n chiffres obtenus. Fréquence d'un caractère Sur un échantillon, c'est le quotient du nombre d'apparitions du caractère par le nombre de répétitions de l'expérience. Exemple On compte le nombre

C'est-à-dire que, si l'on désigne par X(dt) l'événement le prix change pendant l'intervalle de temps (innitésimal) dt , Pr (X(dt)) = δdt On peut interpréter ces changements de prix aléatoires comme résultant d'un signal aléatoire que recevrait l'entreprise, l'incitant à modier ses prix. 1) Montrez que la variable aléatoire représentant le temps d'attente h avant la prochaine modi- cation a pour densité δ exp(−δh). 2) On note xt le (logarithme du) prix xé en t par une entreprise qui a changé son prix

financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.1 La méthode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.2 Simulation d’une loi uniforme sur [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 1.3 Simulation des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 1.4 Simulation de processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2 Quelques algorithmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.1 Approximation de la

LOI BINOMIALE I) Introduction La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p = 3 . 4 1. On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus. (X = 0, 1 ou 2) a) Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2]. (On pourra s'aider d'un arbre "pondéré" et on désignera par S les succès et E les échecs). 2 b) Calculer k =0 2. On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès

¦§ £ © ¦§ §¨ ¤£¥  ¡ Exercice 9 On place dans une urne six boules numérotées de 0 à 5, indiscernables au toucher. L'expérience consiste à tirer simultanément trois boules. 1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 2. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque expérience, prend comme valeur le plus grand des numéros portés sur les trois boules tirées. a) Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique ainsi que son écart-type. b) Calculer la probabilité que X prenne