Entraînement contrôle n°2 sur suites et limites
EXERCICE 1
Déterminer la limite éventuelle de (𝑢𝑛) définie pour tout entier 𝑛 non nul en levant éventuellement une indétermination et en utilisant les règles sur les opérations portant sur les limites.
1) 𝑢𝑛 = 6√𝑛 +
1
𝑛²
+ 2
Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑢𝑛 = 6√𝑛 +
1
𝑛²
+ 2
Or, lim
𝑛→+∞
6√𝑛 = +∞ et lim
𝑛→+∞
(
1
𝑛2 + 2) = 2 …afficher plus de contenu…

La calculatrice nous donne 𝑢50 ≈ −0,199998 et 𝑢100 ≈ −0,199999.
On conjecture que lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = −0,2
3) Démontrer votre conjecture. La suite (𝑢𝑛) converge-t-elle ?
Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑢𝑛 =
𝑛3−2
−5𝑛3+3 Or, lim
𝑛→+∞
( 𝑛3 − 2) = +∞ et lim
𝑛→+∞
(−5𝑛3 + 3) = −∞
Donc par quotient, on est en présence d’une forme indéterminée
∞
∞ Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑢𝑛 =
𝑛3−2
−5𝑛3+3
=
𝑛3(1−
2
𝑛3)
𝑛3(−5+
3
𝑛3)
=
1− …afficher plus de contenu…

1
√𝑛
+ 5 ≤ 𝑢𝑛 ≤
1
√𝑛
+ 5
Or, lim
𝑛→+∞
(−
1
√𝑛
+ 5) = 5 et lim
𝑛→+∞
(
1
√𝑛
+ 5) = 5
Donc, d’après le théorème des gendarmes, lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = 5
2) 𝑣𝑛 = −𝑛 + cos(2𝑛)
Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on a :
−1 ≤ cos(2𝑛) ≤ 1 ssi −1 − 𝑛 ≤ cos(2𝑛) − 𝑛 ≤ 1 − 𝑛
Donc, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣𝑛 ≤ 1 − 𝑛
Or lim
𝑛→+∞
(1 − 𝑛) = −∞
Donc, d’après le théorème de comparaison, lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛 = −∞
3) 𝑤𝑛 = 𝑛3 − sin (𝑛)
Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on a :
−1 ≤ sin (𝑛) ≤ 1 ssi 1 ≥ − sin(𝑛) ≥ −1 ssi 1 + 𝑛3 ≥ − sin(𝑛) + 𝑛3 ≥ −1 +