Mathématiques - Devoir à la maison - 1S
Pour ce travail vous aurez besoin de logiciels téléchargeables gratuitement aux adresses suivantes :
_ OpenOffice (http://www.openoffice.org/fr/)
_ Algobox (http://www.xm1math.net/algobox/download.html )
_ Xcas(http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/install_fr#xcaswin)

On considère l'équation ( E) : x 2 +bx+c=0 avec b2 −4 c>0 .
On note x1 et x 2 les solutions de l'équation ( E) .
Le but de l'exercice est de trouver une méthode à l'aide d'un ordinateur pour calculer les n sommes x1 +x n , avec n entier naturel quelconque.
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Partie I
On s'intéresse au cas particulier où b=−2 et c=−1 c'est à dire à ( E) : x 2 −2x −1=0
A) Calcul des premières valeurs de la somme.
1)a) Résoudre l'équation ( E) . On note x1 et x 2 les solutions.
b) Calculer S =x 1 +x 2 .
2) On se propose de calculer le nombre W =x 5 +x 5 .
1
2
2
2
a) On note T =x 1 +x 2 .
2
Montrer que x1 =2 x 1 +1 , puis que T =2 S +2 . En déduire T .
b) On note : U =x 3 +x 3 . En multipliant l'équation (E) par x , montrer que :
1
2
U =2 T +S . En déduire U .
c) Soit V =x 4 +x 4 . De la même façon, montrer que V =2 U +T . En déduire V .
1
2
d) Montrer que W =2 V +U . En déduire W .
B) Elaboration d'un algorithme de calcul à l'aide d'Algobox. 1) Expliquer à quoi sert l'algorithme ci-contre et décrire le principe de son fonctionnement.
2) Recopier cet algorithme dans Algobox ou l'adapter
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au langage de votre calculatrice. En déduire x1 +x 20
2
.

C) Utilisation d'un tableur.
On va à présent calculer toutes les sommes n x1 +x n , avec n entier compris entre 1 et 50.
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1) Entrer dans la colonne A les valeurs de n ainsi que les deux premières sommes en B2 et B3 comme ci-contre.
2) Quelle formule doit-on écrire en B4 pour qu'en la copiant vers le bas on obtienne n toutes les valeurs de la somme x1 +x n ?
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3) Etirer les formules jusqu'à n=40 . Quelle somme obtient-on pour n=40 ?

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D) Utilisation d'un logiciel de calcul