Espaces vectoriels
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12 pages
Chapitre I. G´n´ralit´s sur les espaces vectoriels. e e e Marc de Crisenoy Convention: dans tout le cours, K d´signe un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C). e § G´n´ralit´s. e e e D´f. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´t´s suivantes: e ee (E,+) est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est not´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E α.(β.x) = (αβ).x ∀x ∈ E 1K .x = x Lemme 2. Soit E un K-ev. Alors: i) ∀α ∈ K α.0E = 0E ii) ∀α ∈ K ∀x ∈ E α.(−x) = −(α.x) iii) ∀x ∈ E 0K .x = 0E iv) ∀α ∈ K ∀x ∈ E (−α).x = −(α.x) Indication pour i). Soit α ∈ K. Consid´rer α.(0E + 0E ). e Rq. 3. Soit E un K-ev. Alors: i) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x − y) = λ.x − λ.y ii) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(−x + y) = −λ.x + λ.y iii) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(−x − y) = −λ.x − λ.y iv) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α − β).x = α.x − β.x v) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (−α + β).x = −α.x + β.x vi) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (−α − β).x = −α.x − β.x vii) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (−α).(β.x) = −((αβ).x) viii) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E α.((−β).x) = −((αβ).x) ix) ∀x ∈ E (−1K ).x = −x Prop. 4. Soit E un K-ev. Soient α ∈ K et x ∈ E. Alors: α.x = 0E ⇐⇒ (α = 0K ou x = 0E ) Indication pour =⇒. Si α = 0K , alors on dispose de α−1 . Rq. 5. Soit E un K-ev. Alors E = {0E } ⇐⇒ ∃x ∈ E \ {0E }. Ex. 6. Notons +K l’addition de K et .K la multiplication de K. Alors (K, +K , .K ) est un K-ev. Ex. 7. Soit n ∈ N∗ . On d´finit + : Kn × Kn → Kn ainsi: (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). e On d´finit . : K × Kn → Kn ainsi: λ.(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ). e Alors (Kn , + , .) est un K-ev.1
Ex. 8. Soient E un K-ev et A un ensemble. On note E A l’ensemble des applications de A dans E. On d´finit + : E A × E A → E A ainsi: ∀x ∈ A (f + g)(x) = f (x) + g(x). e On d´finit . : K × E A → E A ainsi: ∀x ∈ A (λ.f )(x) = λf (x). e Alors (E A , + , .) est un K-ev. D´f. 9. Soit E un K-ev. Soit x