Espaces vectoriels

Pages: 12 (2888 mots) Publié le: 4 avril 2013
Chapitre I. G´n´ralit´s sur les espaces vectoriels. e e e Marc de Crisenoy Convention: dans tout le cours, K d´signe un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C). e § G´n´ralit´s. e e e D´f. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´t´s suivantes: e ee (E,+) est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application estnot´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E α.(β.x) = (αβ).x ∀x ∈ E 1K .x = x Lemme 2. Soit E un K-ev. Alors: i) ∀α ∈ K α.0E = 0E ii) ∀α ∈ K ∀x ∈ E α.(−x) = −(α.x) iii) ∀x ∈ E 0K .x = 0E iv) ∀α ∈ K ∀x ∈ E (−α).x = −(α.x) Indication pour i). Soit α ∈ K. Consid´rer α.(0E + 0E ). e Rq. 3. Soit E un K-ev. Alors: i) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x− y) = λ.x − λ.y ii) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(−x + y) = −λ.x + λ.y iii) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(−x − y) = −λ.x − λ.y iv) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α − β).x = α.x − β.x v) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (−α + β).x = −α.x + β.x vi) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (−α − β).x = −α.x − β.x vii) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (−α).(β.x) = −((αβ).x) viii) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E α.((−β).x) = −((αβ).x) ix) ∀x ∈ E (−1K ).x = −x Prop. 4. Soit E un K-ev. Soient α ∈ K et x ∈E. Alors: α.x = 0E ⇐⇒ (α = 0K ou x = 0E ) Indication pour =⇒. Si α = 0K , alors on dispose de α−1 . Rq. 5. Soit E un K-ev. Alors E = {0E } ⇐⇒ ∃x ∈ E \ {0E }. Ex. 6. Notons +K l’addition de K et .K la multiplication de K. Alors (K, +K , .K ) est un K-ev. Ex. 7. Soit n ∈ N∗ . On d´finit + : Kn × Kn → Kn ainsi: (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). e On d´finit . : K ×Kn → Kn ainsi: λ.(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ). e Alors (Kn , + , .) est un K-ev.

1

Ex. 8. Soient E un K-ev et A un ensemble. On note E A l’ensemble des applications de A dans E. On d´finit + : E A × E A → E A ainsi: ∀x ∈ A (f + g)(x) = f (x) + g(x). e On d´finit . : K × E A → E A ainsi: ∀x ∈ A (λ.f )(x) = λf (x). e Alors (E A , + , .) est un K-ev. D´f. 9. Soit E un K-ev. Soit x ∈E. Soit k ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xk ∈ E. On dit que e x est combinaison lin´aire de x1 , . . . , xk si ∃λ1 , . . . , λk ∈ K tels que x = λ1 x1 + . . . + λk xk . e § Morphismes de K-ev (ou applications lin´aires). e D´f. 10. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E → F une application. On dit que u est lin´aire e e (ou que u est un morphisme de K-ev) si elle v´rifie les deux conditions suivantes: e i)∀x, y ∈ E u(x + y) = u(x) + u(y), ii) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E u(λ.x) = λ.u(x). Rq. et d´f. 11. Soient E, F deux K-ev. Alors l’application de E dans F qui a tout x e ` de E associe 0F est lin´aire; on l’appelle l’application nulle de E dans F . e Exo. 12. Soit E un K-ev. Soit x ∈ E. On note u l’application de K dans E d´finie par e u(γ) = γx. Alors u est lin´aire. e Rq. 13. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E→ F une application lin´aire. e ∗ Soit k ∈ N . Soient α1 , . . . , αk ∈ K et x1 , . . . , xk ∈ E. Alors u(α1 x1 + . . . + αk xk ) = α1 u(x1 ) + . . . + αk u(xk ). Rq. 14. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E → F une application lin´aire. e Alors i) u(0E ) = 0F , ii) ∀x ∈ E u(−x) = −u(x), iii) ∀x, y ∈ E u(x − y) = u(x) − u(y). Exo. 15. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E → F une application. Alors lesassertions suivantes sont ´quivalentes: e i) u est lin´aire e ii) ∀x, y ∈ E ∀α, β ∈ K u(αx + βy) = αu(x) + βu(y) iii) ∀x, y ∈ E ∀α ∈ K u(αx + y) = αu(x) + u(y) Lemme 16. Soient E, F, G des K-ev. Soient u : E → F et v : F → G des applications lin´aires. Alors v ◦ u est lin´aire. e e D´f. 17. Soient E, F des K-ev. On appelle isomorphisme de E dans F une application e de E dans F qui est lin´aire,bijective et dont la r´ciproque est lin´aire. e e e Rq. 18. Soient E, F des K-ev. Soit u un isomorphisme de E dans F . Alors u−1 est un isomorphisme de F dans E. Lemme 19. Soient E, F des K-ev. Soit u : E → F une application lin´aire. On suppose e que u est bijective. Alors u−1 est un isomorphisme. D´f. 20. Soit E un K-ev. On appelle endomorphisme de E une application lin´aire de E e e dans E....
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Espaces vectoriel
  • espaces vectoriels
  • espace vectoriel
  • Espace vectoriel
  • Espaces vectoriels
  • Éspace vectoriél
  • Les espace vectorieles normée
  • espace vectoriel et applications linéaires

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !