Admète

Intuition : lim f (x) = 3 x→∞ 1 LIMITES 4 Les limites de droite et de gauche : • lim− f (x) = L → limite de gauche. x→c • lim+ f (x) = L → limite de droite. x→c Dans ces cas tu approches la valeur seulement d’un cˆot´e. Exemple 1. Supposez f (x) admet le graphe suivant : Notez les cercles ferm´es et les cercles ouverts. Dans ce cas, ils indiquent que la valeur de f `a 2 est 5. Ici, lim f (x) = 10, x→2+ lim f (x) = 5 x→2− Th´ eor` eme 1. Si la limite de gauche et la limite de droite existent

nπ cos(nπ) − 1 n 2 π2 1 − 0 1 nπ 1 sin(nπt )dt 0 t cos(nπt ) dt = 0 + 0 1 cos(nπt ) 1 0 = cos(nπ) . nπ 2. On considère la fonction f définie sur R , périodique de période 2,telle que : Pour la suite de l’exercice, on admet que : t sin(nπt ) dt = − 0 f (t ) = t f (t ) = 0 (a) Voir document réponse n°1. sur [0; 1[ sur[1; 2[ (b) On appelle S f la série de Fourier associée à la fonction f . +∞ On note S f (t ) = a0 + n=1 [an cos(nπt ) + b n sin(nπt )] a0

exponentielle est le prolongement continu de la suite géométrique de premier terme u 0 = 0 et de raison 1. b) La fonction définie sur ]0 ; + ∞ [ par f ( x ) = e x est à valeurs dans »+ et transforme une somme en un produit. c) L’équation exp( x ) = 0 admet une unique solution strictement positive. d) La dérivée de la fonction exponentielle est strictement croissante sur  −∞ ; 0  . e) La fonction exponentielle est dérivable donc continue. f) La dérivée de la fonction f : x e x − 1 est e x donc f est

-1/2 + 3 1n t. 1- Déterminer la dérivée f ’ de la fonction f et montrer que, pour tout t de [2, 15 ], f ‘(t)= 6 – t / 2t 2- a ) Etudier le signe de f ‘(t) sur l’intervalle [2, 15] b ) Monter que la fonction f admet un maximum dont on donnera la valeur exact. c ) Dresser le tableau de variation de la fonction f . Le compléter avec les valeurs exactes de f(2), de f(15) et du maximum. 3- a ) Reproduire et compléter le tableau : (on donnera les

Plan philo : La question « qui suis-je » admet elle une réponse exacte ? Intro. Sans doute un enfant peut-il, à partir d'un certain âge répondre spontanément à la question "Qui suis-je?" (en fait suscitée par un "Qui es tu?") : il énumère ses nom et prénom, ceux de ses parents, la liste de ses frères et soeurs, il peut même mentionner son adresse, ou décrire rapidement l'habitation familiale... Mais il est innocent: il ne perçoit pas encore la complexité de son "je", et se contente d'un repérage

premier tout entier ≥ 2 sans diviseur non trivial. Un entier non premier est dit composé. Remarque 2 (utile pour écrire un programme de test de primalité)   Un entier n≥ 2 est composé si et seulement si n admet un diviseur d tel que 2≤ d≤ √n. Proposition 3   Soit n≥ 2 un entier. Alors n admet un plus petit diviseur ≥ 2 et celui-ci est un nombre premier. Corollaire 4   Tout entier n≥ 1 est un produit de nombres premiers. Remarque 5   Un peu plus loin, on va améliorer ce résultat : ce sera le

e o • Le th´or`me de D’Alembert-Gauss affirme qu’un polynˆme non constant ` coefficients complexes admet au e e o a moins une racine dans C. Par exemple, X 2 + 1 n’a pas de racines r´elles mais a bien une racine complexe. Il en a mˆme deux : i et −i. e e • En corollaire du th´or`me de D’Alembert-Gauss, on en d´duit que tout polynˆme de degr´ n ≥ 1 ` coefficients e e e o e a complexes admet n racines complexes compt´es avec multiplicit´. e e Par exemple X 2 + 2X + 1 = (X + 1)2 a une racine

sont divisibles par 8 (une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence). 3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296. a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E"). b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer. T S spécialité mathématiques.|Devoir surveillé n° 2|Jeudi 29 novembre 2007| Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9

une direction asymptotique si et seulement si la e Ý pÑ admet une limite, c’est-`-dire e yptq une limite. ÝÝÝ direction de OM tq a si xptq Remarque. R`gle d’´tude (si seule l’une des coordonn´es tend vers l’infini). e e e • Si • p q ÝÑtÑ ¨V ÝÝ t 7y ptq Ý Ñ b € R ÝÝ tÑt 6 8xptq Ý Ñ a € R ÝÝ tÑt Si 7y ptq Ý Ñ ¨V ÝÝ tÑt 0 0 0 0 6 8x t , alors Γ admet pour asymptote la droite horizontale d’´quation y e  b. , alors Γ admet pour asymptote la droite verticale d’´quation x  a. e

Enonceé bac1990(P) Exercice1on donne f(z) = z 3 + 2(− 3 + i ) z 2 + 4(1 − i 3 ) z + 8i 1) a) montrer que l' équation f(z) = 0 admet une solution imaginaire pur z que l' on déterminera 0 b) résoudre alors f(z) = 0 on note z et z les deux autres racines ; z celle qui 1 2 1 a une partie imaginaire négative z 2) On pose ω = 1 z 0 a) donner la forme trigonométrique de ω b) le plan etant raporté a un repere orthonormé (O; U;V ) a tout nombre complexe z non nul on associe les ponts M;