Admète

Règle des équations produits : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0 1 Justification facultative car évidente. Exemple : (x – 2)(2x+ 1) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x – 2 = 0 ou 2x + 1 = 0 x = 2 ou 2x = – 1 x = 2 ou x = – 1 2 Donc l’équation (x – 2)(2x+ 1) = 0 admet deux solutions : 2 et – 1. 2 E. Règle des carrés : résoudre x2 = k où k un nombre quelconque.  si k > 0 alors :  si k = 0 alors :  si k 0 x2 = k ⇔ x2 – k = 0 on soustrait k aux deux membres. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x2 – ( k)2 = 0 or k > 0 donc

Démontrer que pour tout z  0, on a arg(z’) = arg(z) [2]. En déduire que, pour tout point M de P\{O}, les points M et M’ appartiennent à une même demi-droite d’origine O. b) Déterminer l’ensemble des points M de P\{O} tels que M = M’. c) On admet que si M est un point distinct de O, U, V, alors M’ est également distinct de O, U, V. Démontrer que dans ce cas, En déduire une relation entre et 3. a) Soit M d’affixe z, distinct de U et de V. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de

Second degré Exercice n°1 (3 points) : Question de cours Soient ?, ? et ? trois réels où est ? est non nul. Sachant que pour tout ? réel, on a : ? Δ ??² + ?? + ? = ? ? + 2? ² − 4? , démontrer que lorsque Δ > 0, l'équation ??² + ?? + ? = 0 admet deux solutions distinctes que l’on précisera. Exercice n°2 (3 points) : Résoudre dans ℝ l’équation : ? 4 − ?² − 6 = 0. Exercice n°3 (8 points) : Les courts de tennis sont de forme rectangulaire mesurant 23,77 m de long. Un filet de 0,914

signifie qu'elle s'applique à des éléments de  et a pour résultat un élément de  : "(x, y) Î  ´ , x + y Î ) · associative ("(x, y, z) Î  ´  ´ , (x + y) + z = x + (y + z)) · possède un élément neutre 0 ("x Î , x + 0 = 0 + x = x) · et tout élément admet un symétrique ("x Î , $y Î  tel que x + y = y + x = 0, à savoir y = -x). Théorème Les sous-groupes de (, +) sont de la forme (n, +) avec n Î . Démonstration : Les ensembles (n, +), n Î , sont bien des sous-groupes de (, +) puisqu'ils sont

pas suivant les valeurs de x ; c'est le signe du coefficient a. Signe de ax 2bxc toujours du signe de a pour tout x ∈ ℝ. Si Δ = 0 l'équation admet une seule racine dite double La factorisation de ax 2bxc est : a  x− x 02 . Le signe de ax 2bxc est celui de a sauf pour x = x0 = – b . 2a x 0 où ax 2bxc = 0. Si Δ > 0, l'équation admet deux racines réelles distincts : On peut factoriser : ax 2bxc = a  x− x 1 x− x 2  . x1 = −b Δ et 2a x2 = −b− Δ 2a Le signe

sens d’une parabole dépend du signe du coefficient a. En effet si a > 0 la parabole est tournée vers le « haut » et si a < 0 elle est tournée vers le « bas » Si a est POSITIF  Si a est NEGATIF  La fonction admet dont un minimum en x = ce minimum est  = f (  ) La fonction admet dont un maximum en x = ce maximum est  = f (  )

2 nn n Ş Ľ a12 a22 . . . . . . . . . a1n . . . . . . a2n . . . . . . . . . . . . . . . ann . = = . . . b1 b2 . . . Ľ Ş = bn x1 x2 . . . xn Ş = b1 b2 . . . bn . an1 an2 On suppose que A est inversible. Donc le syst`me (S) admet la solution x = A−1 b. Par la e m´thode de Cramer, on a e ˛ ˛ ˛ a11 Ă Ł ˛ Ă Ł ˛ a21 det Aj ˛ xj = o` det Aj = ˛ . u ˛ . det(A) ˛ . ˛ a ˛ n1 a12 a22 . . . an2 . . . b1 . . . a1n . . . b2 . . . a2n . . . . . . . . . . . . . . . bn . . . ann

&#120582;1&#119890;&#119909; + &#120582;2&#119890;2&#119909; Le second membre est le produit d’une constante 1 (donc d’un polynôme de degré 0) par une exponentielle avec &#120572; = −1, −1 n’est pas solution de l’équation caractéristique de (&#119864;′) donc (&#119864;) admet une solution particulière de la forme &#120593;&#119875;(&#119909;) = &#119860;&#119890;−&#119909; &#120593;&#119875; ′ (&#119909;) = −&#119860;&#119890;−&#119909; et &#120593;&#119875; ′′(&#119909;) = &#119860;&#119890;−&#119909; On remplace

Centrale-Supelec-2005-MP-mathématiques 1 1 Problème. On dira qu'une fonction dénie de R vers C est continue par morceaux, si elle est continue sur tout segment [a, b] de R sauf peut être en un nombre ni de points de [a, b], où elle admet des limites nies à droite et à gauche. On admet que la somme (respectivement le produit) de deux fonctions continues par morceaux, est continue par morceaux. Dans tout ce problème B désigne l'ensemble des fonctions bornées continues par morceaux de R vers C. Pour tout x

Soit (E, ≤) un ensemble ordonné et A un sous-ensemble de E. Un élément x ∈ E est appelé majorant de A si pour tout a ∈ A, on a a ≤ x. De même, un élément x ∈ E est appelé minorant de A si pour tout a ∈ A, on a x ≤ a. Dans le cas où l’ensemble A admet un majorant (resp. minorant), on dit que A est majoré (resp. minoré). Si A est majoré et minoré, on dit qu’il est borné. Exemple : le sous-ensemble ] − ∞, 1] de R est majoré et non minoré. Définition 7. Soit (E, ≤) un ensemble ordonné et A un sous-ensemble