Algèbre générale

Espace vectoriel R n Chapitre 1 n L’espace vectoriel R I. Définition . Soit n  N  . R n  x1 , x2 .,.., xn  / x1 , x2 .,.., xn  R Exemples. 1) R1  R . 2) R 2  x, y  / x, y  R . 3) R 3  x, y, z  / x, y, z  R Définition . Dans R n , on définit les deux opérations suivantes : a) L’Addition interne : Soient x1 , x2 .,.., xn   R n et  y1 , y2 .,.., yn   R n , alors on a : x1 , x2 .,.., xn    y1 , y2 .,.., yn   x1  y1 , x2  y2 .,.., xn  yn  R n . Cette opération

6Modèles de données 6Modèle relationnel 6Algèbre relationnelle 6SQL 6Conception 6Fonctions avancées 6Concepts avancés 6Modèle des objets 6BD à objets Plan du cours n n n n n n n n n n n Introduction Architecture Modèles de données Modèle relationnel Algèbre relationnelle SQL Conception Fonctions avancées Concepts avancés Modèle des objets BD à objets 2 1 6Introduction 6Architecture 6Modèles de données 6Modèle relationnel 6Algèbre relationnelle 6SQL 6Conception 6Fonctions avancées 6Concepts avancés

 I. SIMPLIFICATION D’EQUATION ELECTRIQUE PAR LA METHODE ALGEBRIQUE 1.1 Postulats et théorèmes de l'algèbre de Boole Opérations sur la même variable a + a = a a . a = a Commutativité a + b = b + a a . b = b . a Associativité a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c a . ( b . c ) = ( a . b ) . c = a . b . c Distributivité a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c ) a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c ) Eléments neutres 0 + b = b a . 1 = a Eléments absorbants 1 + b = 1 a . 0 = 0 Complémentarité

Université Paris Diderot (Paris 7) MMAL2 - Algèbre élémentaire 2 Année 2014-2015 Licence S2 Feuille d'exercices n o 4 Applications linéaires Exercice 1 Déterminer si les applications suivantes sont linéaires : g1 : R → R g2 : R → R g3 : R → R f1 : R2 → R2 f2 : R3 → R3 f3 : R3 → R3 f4 : R2 → R4 f5 : R3 [X] → R3 g1 (x) = 2x + 5 g2 (x) = 2x g3 (x) = x2 f1 (x, y) = (2x + y, x − y) f2 (x, y, z) = (xy, x, y) f3 (x, y, z) = (2x + y + z, y − z, x + y) f4 (x, y) =( (y, 0, x − 7y, x + y) ) f5 (P ) =

Bases de données Yann Loyer yann.loyer@prism.uvsq.fr Plan du cours 1. 2. 3. 4. Introduction Modèle relationnel Conception Langage de définition et manipulation (algèbre et calcul relationnels, SQL) 5. Développement d’applications Bases de données - Y 2 Introduction Plan : I.1) Bases de données I.2) Systèmes de gestion de bases de données I.3) Niveaux d’abstractions Bases de données - Y 3 Bases de données Une base de données est ensemble de données : – – – – représentant une partie du monde

Algèbre de Boole Dans l’intégralité de ce problème, E désigne un ensemble. On appelle algèbre de Boole sur l’ensemble E , toute partie A de ℘ (E ) telle que : (1) (2) (3) ∅∈A , ∀A ∈ A , A ∈ A (où A désigne le complémentaire de A dans E ) et ∀A, B ∈ A , A ∪ B ∈ A . 1. Propriétés élémentaires : Dans cette question A désigne une algèbre de Boole sur E . 1.a 1.b 2. 2.a 2.b Montrer que E ∈ A . Etablir : ∀A, B ∈ A , A ∩ B ∈ A et A \ B ∈ A . Quelques exemples : Donner un exemple simple d’algèbre

A Qu’est-ce que la logique binaire ? 1. Introduction Un interrupteur électrique ne peut se trouver que dans deux états différents: ouvert : fermé: =De même, on pourra considérer qu'un témoin lumineux (lampe à incandescence, diode électroluminescente...) ne peut être qu'éteint ou allumé. Lorsqu'un phénomène ne peut prendre que deux états possibles, on peut efficacement le traduire en langage binaire: les deux états possibles sont alors codés par 0 ou 1. Exemples:

11 VI. Conception d'une BD 11 6.1) Architecture d'un SGBD 12 6.2) Bibliographie 12 modèle relationnel 16 I. Structure d’une B.D. Relationnelle 16 1.1) Schéma de relation 16 1.2) Instance de relation 16 1.3) Langages de requête 17 II. ALGEBRE RELATIONNELLE 17 2.1) Projection 17 2.2) Sélection 18 2.3) Union, Différence et Intersection 18 2.4) Produit cartésien 20 2.5) Renommage 20 2.6) Composition des opérateurs 21 2.7) Jointure 21 III. CALCUL RELATIONNEL par n-uplet 22

Planche no 1. Algèbre linéaire I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace

 Fiche Ressource 1 Effectuer des Recherches sur internet Encore faut-il avoir la bonne méthode… !! S'accorder un temps de réflexion Une formulation claire et précise des besoins permet : d'affiner la requête, d'obtenir des résultats plus pertinents. Les réponses aux questions préalables aideront : à choisir une stratégie de recherche (méthode + outils), à établir les critères d'évaluation. Au minimum Se poser au moins les 2 questions suivantes : Qu'est-ce que je cherche