Algebre Lineaire

Système d’équations 1. Point d’intersection (systèmes d’équations) Les systèmes d’équations servent entre autre, à trouver le point d’intersection entre deux droites. a) Méthode de comparaison Il faut isoler la même variable dans les deux équations. Ex : y₁=4x-2 y₂=2x+6 → y₁=y₂ remplacer les y par leurs expressions respectives. y₁=y₂ 4x-2=2x+6 2x-2=6 2x=8 2 2 X=4 →y=4x-2 y=4(4)-2 y=14 b) Méthode de substitution Il faut isoler une variable dans une des équations

mathématicien de Bagdad au 9e siècle, Al khwarizmi publiait « court traité sur le calcul d’al-jabr et muqabala » portant sur les équations du 1er et 2nd degré. Le terme al-jabr, qui désigne une transformation de base des équations, va donner le mot algèbre. L’algèbre va des lors désigner le domaine des équations. Mais à cette époque le traitement des équations se fait sans aucun symbole, tout s’exprime dans le langage ordinaire, l’inconnue s’appelle la chose et son carré le bien. Le traité de khwarizmi

2nde Expressions algébriques : révisions et approfondissements 1° Développer/réduire une expression Développer puis réduire les expressions suivantes. (on rappelle que pour développer une expression on utilise soit la distributivité, soit les identités remarquables) 1 ) 2( x+4)= 2) x (3−2 x)= 2 4 3 ) 3 x ( x +2 x )= 4 ) (4 x+2)(5−2 x)= 2 2 5 ) 3( x −5)( x− x )= 2 6 ) (4 x+2) = 2 7 ) (x−1) −x= 8 ) ( x−5)( x+5)= 2 9 ) ( x−1) −4 x−1= 2 2 10 ) (2x +4 x)(5−2 x)+(2 x+ x )(4 x−10)=

d’une résolution algébrique, ƒ mettre en relief les limites de l’information donnée par une représentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 En particulier, faire remarquer que la fonction carré n’est pas linéaire. Fonctions polynômes de degré ƒ Connaître les variations des fonctions polynômes de Les résultats concernant les variations des fonctions 2. degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la symétrie

Elhattab (ENCG) Matrices 2013 - 2014 1 / 12 Sommaire 1 Définition et notations 2 Opérations sur les matrices 3 Déterminant d’une matrice 4 Calcul de l’inverse d’une matrice 5 Résoulution d’un système d’équations linéaires : Pivot de Gauss I. Elhattab (ENCG) Matrices 2013 - 2014 2 / 12 Définition et notations Définition et notations I. Elhattab (ENCG) Matrices 2013 - 2014 3 / 12 Définition et notations Définition Une matrice à n

Spéciale PT LYCÉE L E C ORBUSIER P ROGRAMME DE COLLE N O 1 Algèbre linéaire Comme d’habitude K = R ou K = C. Semaine du 14 au 19 septembre 2009 Remarque Pour montrer qu’une partie est un s.e.v, il est souvent plus efficace de l’écrire comme s.e.v engendré que de revenir à la définition d’un s.e.v. Espaces vectoriels Définition 1 (Espaces vectoriels) Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne E × E −→ E (x, y) −→ x + y et d’une loi externe K × E −→ E (λ, x) −→ λ.x. (E

Algébre linéaire:compléments M.el kati 20 septembre 2013 Table des matières 1 Application linéaire et sous-espaces vectoriels 1.1 codimension : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rang d’une application linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 . . . . 4 4 4 4 6 3 Dualité 3.1 Hyperplan et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bases duales . . . . .

Exercices du chapitre VIII : Espaces vectoriels Soit E un espace vectoriel sur le corps K. Montrer les relations suivantes : ∀λ∈K ,∀X∈E (a) 0X = λ0 = 0 [deux de ces 0 sont dans E, et un seul (lequel?) est dans K]. (b) (−λ)X = −(λX) = λ(−X) on notera −λX cet ´l´ment. ee (c) (−1)X = −X (d) (−λ)(−X) = λX No 1 Solution (a) On a indiqu´ en caract`re gras le 0 de K. En utilisant (EV2) e e 0X = (0 + 0)X = 0X + 0X , puis en utilisant les propri´t´s de groupe dans E, ee 0 = 0X + (−0X) = 0X + 0X +

Exercice 1 Soient f et g définies sur ℝ par f(x)=(4x-2)² et g(x)=x² calculer les coordonnées des points d’intersections de ?? et?? Équations linéaires à deux inconnues Définition Une équation de la forme ax +by +c = 0 ou ax +by = c, avec (a;b)  (0;0), est appelée équation linéaire à deux inconnues.  ax +by = c Propriété : Soit (S) Un système de deux équations linéaires à deux inconnues. (S).  a′x +b′y = c'  (S) a autant de solutions qu’il y a d’intersections aux droites D et D′ d’équations respectives

a montré par récurrence que : En particulier, v0 = ∀n ∈ N, vn = v0 . lim vn = a, ce qui signifie g(x) = ax. Ainsi, il existe un réel a tel que, pour tout réel x non nul, n→ +∞ g(x) = ax. Ceci restant clair pour x = 0, on a montré que : g est linéaire. 23.- Soit f une solution. D’après 9.-, f(0) ∈ {−1, 0, 1}. D’après 17.-, si f(0) ∈ {−1, 1}, f est constante sur R et réciproquement, si f est la constante 1 ou la constante −1, f est solution d’après 8.-. Sinon, f(0) = 0, et d’après 22.-, il existe