Algorithme

ˆtre exprim´s comme e e e e 2. L’algorithme du simplexe des programmes lin´aires. e 3. Simplexe : comment ´viter les pi`ges e e • Les programmes lin´aires peuvent ˆtre r´solus efficacement e e e 4. Dualit´ e par certains algorithmes. 5. Programmation lin´aire en nombres entiers e • Ce sont d’excellents exemples de questions pratiques dont la r´solution n´cessite une combinaison de m´thodes e e e algorithmiques, de math´matiques ´l´mentaires et de bon e ee sens

Cours 9 : programmation linéaire (recherche opérationnelle) • • • • 1. Exemple introductif 2. La méthode du simplexe 3. Dictionnaires 4. Algorithme C. JARD Cours ALGO1 MMI+MIT 2007-2008 1 1. Introduction : la raffinerie • Production optimale d’une raffinerie produisant 4 produits finis (essence, kérosène, mazout et résidu) à partir de deux types de pétrole brut (brut1 et brut2), avec les paramètres suivants : Produit $/baril Essence Kérosène Mazout Résidu Rendement(%) Brut1, Brut2 80

Chapitre 7 : Les Algorithmes de tri 135 1Notion de tri 135 2Quelques algorithmes classiques de tri 137 2.1Le tri par sélection 138 2.2Le tri par insertion simple 140 2.3Le tri à bulles 160 2.4Le tri à accès indirect 163 Chapitre 8 : La récursivité 166 1Définition et exemples 166 2.1Définition  166 1.1Premier exemple : Calcul du factoriel d’un entier 166 1.2Deuxième exemple : Somme des éléments d’un tableau 166 1.3Troisième exemple : les tours de Hanoï 167 2Un algorithme de tri récursif :

1.1 Formule de récurrence 1.2 Nombres de Fibonacci 2 Expression fonctionnelle 3 La suite pour les nombres négatifs 4 Limite des quotients 5 Bases et espaces vectoriels 6 Algorithmes de calcul des nombres de Fibonacci 6.1 Avec la formule de Binet 6.2 Algorithme récursif naïf 6.3 Algorithme linéaire 6.4 Algorithme logarithmique 6.5 Curiosité algorithmique 7 Propriétés de la suite de Fibonacci 8 Bestiaire de formules 9 Série génératrice 10 Divisibilité des nombres de Fibonacci 11 Primalité

obtient l’écran suivant : Le quotient de la division euclidienne de 1774 par 887 est : 2 ; Le reste de la division euclidienne de 1774 par 887 est : 0. On peut donc écrire l’égalité suivante : Conclusion : Dans l’algorithme des divisions successives (algorithme d’Euclide) le PGCD coïncide avec le dernier reste non nul de la série de divisions successives : c’est donc le reste obtenu à l’étape 2. D’où PGCD(6209 ;4435)=887 2. La fraction n’est pas une fraction irréductible car le PGCD de 6209 et de 4435

ALGORITHME DU SIMPLEXE Considérons le problème de programmation linéaire suivant : Max Z = 2x1 + x2 x1 + x2 6 3x1 + 4x2 9 x1 0 , x2 0 La mise sous forme standard (introduction des variables d'inactivité x3 et x4) donne : Max Z = 2x1 + x2 x1 + x2 + x3 = 6 3x1 + 4x2 + x4 = 9 x1 0 , x2 0, x3 0, x4 0 On passe de cette forme standard au tableau suivant : |x1 |x2 |x3 |x4 |R |

. . . . . 2.2.4 Variable d’´carts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3 Solutions de base r´alisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4 Propri´t´s g´om´triques des solutions de base r´alisables . . . . . ee e e e 2.5 Algorithme du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 L’algorithme du simplexe proprement dit : la phase 2 . . 2.5.2 M´thode des dictionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.3 M´thode des tableaux . . . . . . . . . . . . .

m´thode graphique ıve e 2. L’algorithme du simplexe 3. Simplexe : comment ´viter les pi`ges e e 4. Dualit´ e 5. Programmation lin´aire en nombres entiers e Bibliographe : [V. Chv´tal, Linear Programming] a des programmes lin´aires. e par certains algorithmes. • Les programmes lin´aires peuvent ˆtre r´solus efficacement e e e • Ce sont d’excellents exemples de questions pratiques dont la r´solution n´cessite une combinaison de m´thodes e e e algorithmiques, de math´matiques ´l´mentaires et de bon

lin´eaire `a valeurs enti`eres. Il est peut-ˆetre surprenant de constater que la presque totalit´e des probl`emes d’optimisations ´enonc´es dans ce cours (hormis ceux relevant de la programmation dynamique) peuvent ˆetre r´esolus `a l’aide d’un algorithme de programmation lin´eaire. Cependant, des solutions sp´ecifiques, par exemple au probl`eme du flot maximal ou du flot de coˆ ut total minimal dans un r´eseau, sont propos´ees. Elles sont souvent d´evelopp´ees `a partir d’un programme lin´eaire adapt´e

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