Analyse Factoriel

| | |ENSEIGNEMENTS |VOLUME HORAIRE | |Statistiques 1 – analyse des données |18h (dont 6h de TD en salle informatique) | |Statistiques 2 – modélisation statistique |18h (dont 6h de TD en salle informatique)

indépendants si et seulement si : Chapitre : Probabilités I 5 3. Dénombrement 3.1. Permutation Dans certaines situations, on a besoin de dénombrer le nombre de possibilités que l’on a de disposer éléments dans un ordre donné. Ce nombre est factorielle . Il est défini comme : Avec : Ainsi : par convention. 3.2. Combinaison 3.2.1. Définition Lorsqu’on veut choisir éléments parmi , on utilise une combinaison dite « C notée . Elle est définie par : » et Ainsi :   Chapitre :

D’ après CCP 2006 -PSI première épreuve Notations. Pour tout entier naturel n, on note : n! la factorielle de n avec la convention 0! = 1, [j0; nj] l’ ensemble des entiers naturels k véri…ant 0 n k k n, le nombre de parties ayant k éléments d’ ensemble de n éléments, pour k 2 [j0; nj]. un On rappelle : la valeur de n k = n! pour k 2 [j0; nj], k!(n k)! n n X1 1 =1+ + la somme k 2 k=1 En…n, si n est un entier naturel non nul, on note 0 + 1 et on pose n = 0. Objectifs. Dans

X- Combinatoire L’essentiel de la combinatoire tient en trois formules, ce qui est fort peu. Encore faut-il ensuite arriver à les appliquer correctement, ce qui est nécessite un certain entraînement. Dans ce contexte, ce que l’on appelle les combinaisons joue un rôle p majeur. On appelle Cn le nombre de façons de choisir un paquet de p objets dans un p ensemble de n objets. Signalons que ce nombre, que nous notons Cn , s’écrit aussi, dans la littérature mathématique récente, et américaine à l’origine

suivante, ils sont cinq et ont repéré une rangée de cinq places libres. Combien ont-ils de façons de s’installer ? (c) En déduire le nombre de façons d’arranger n objets à n places. On retiendra que : Si n est un entier naturel non nul, on appelle factorielle n, et on note n!, l’entier naturel : n! = n × (n − 1) × . . . × 2 × 1. 2. Le mois suivant, ils sont quatre mais la salle est pratiquement vide. Ils disposent d’une rangée R, équipée de 12 sièges libres. Combien ont-ils de façons de s’installer (pas

DENOMBREMENT I) Permutations et factorielle. 1) Exemple : une anagramme d’un mot est un nouveau mot constitué des mêmes lettres que celles du mot initial mais dans un ordre différent. Déterminer le nombre d’anagrammes du mot « Marie » qui contient 5 lettres distinctes. 1ère lettre 5 choix 2ème lettre 4 choix 3ème lettre 3 choix 4ème lettre 2 choix 5ème lettre 1 choix Chacune des ces anagrammes est appelée une permutation des cinq lettres m, a, r, i, e. Il y a donc 5 × 4 × 3 × 2 × 1 anagrammes

thDÉNOMBREMENT - COMBINATOIRE - LOIS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES Dans tout ce qui suit, nous noterons n! le produit 1 ´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n, ce produit s'appelle "factorielle n". On convient que 0! = 1. Exercices sur les factorielles : · Démontrer que 6! ´ 7! = 10! (sans calculer 10!) (n + 1)! n! · Démontrer que tout entier k : · Simplifier Puis que pour tout entier n non nul : (k + 1)! - k! = k ´ k! n! = 1 + å kk ! k =0 n -1 1. Principes de base du dénombrement On rappelle que le cardinal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Quelques grands principes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 C II A B III A B IV A B V I A B C II A B III A B IV A B C D VI I II A B C D III A B IV A B C D E Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Permutations, p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Permutations d’un ensemble . . . . . . . . .

printf("somme_nombres_formule (%d) = %d \n",n,somme_nombres_formule(n)); return 0; } –2/8– IN4A11 Exercices en C Les types simples 2 Factorielle (*) Écrire une fonction qui retourne la factorielle d’un entier positif ou nul (5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1). Que se passe-t-il en cas de dépassement de capacité ? Prototype : int factorielle(int n) ; 3 PGCD (*) Écrire une fonction qui retourne le plus grand commun diviseur (pgcd ) de deux nombres entiers positifs par l’algorithme

n http://laurentb.garcin.free.fr 5 si q = 1 si q = 1 . © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Exercice 2.1 n k2k . Calculer k=1 2.3 2.3.1 Sommes binomiales Coefficients binomiaux Définition 2.1 Factorielle n ∗ Pour n ∈ N , on note n! le produit des entiers de 1 à n i.e. n! = k. On convient que 0! = 1. k=1 Définition 2.2 Coefficient binomial Soit n ∈ N et k ∈ 0, n . ❶ ➀ n k = n(n − 1) . . . (n − k + 1) n! = k! (n − k)!k