Analyse vectorielle

Département de mathématiques L1S2 : physique – chimie Année 2007–2008 Algèbre linéaire Cours magistral no 1 Chapitre 1 – Structure d’espace vectoriel 1 Définition et représentation de Rn Si n ∈ N∗ , on note Rn l’ensemble des suites ordonnées de n nombres réels. Une telle suite est appelée n-uplet1 réel. La suite des nombres réels x1 , x2 ,..., xn est le n-uplet réel noté (x1 , x2 , . . . , xn ). Les nombres x1 , x2 ,..., xn sont appelées les coordonnées du nuplet réel (x1 , x2 , . . . , xn

16 - Un sous-espace vectoriel de matrices - L1/Math Sup Soit E le sous ensemble de M3 (R) d´fini par e a 0 c   E = M (a, b, c) =  0 b 0  : a, b, c ∈ R . c 0 a Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R) stable pour la multiplication des matrices. Calculer dim(E).   Exercice 17 - Matrices sym´triques et anti-sym´triques - Math. Sup e e Montrer que l’ensemble des matrices sym´triques (A = tA) et l’ensemble des matrices e tA) sont deux sous-espaces vectoriels suppl´mentaires de M

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Espaces vectoriels, applications linéaires et matrices 3.1 Espaces et sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 et dim Ker ∆n = dim E0 = 1. Donc : rg ∆n = dim Im ∆n = n = k=1 ak i=0 = an n xn−1 + an n−1 n−2 i=0 n i x + i n−1 k−1 ak k=1 i=0 k i x i D’apr`s la question 1.a.i, Im ∆n ⊂ En−1 . Comme ces deux espaces vectoriels e sont de mˆme dimension, on en d´duit qu’ils sont ´gaux. En conclusion : e e e Im ∆n = En−1 =nan =0 deg n−2 2. (a) i. Soit k 1. Alors : ∀x ∈ R ∆ (Nk ) (x) Nk (x + 1) − Nk (x) (x + 1) x (x − 1) · · · (x − k + 2) x (x − 1) · · · (x

admet des dérivées partielles premières en (0, 0) que l'on déterminera. 2. Démontrer que la fonction f est diérentiable en (0, 0). EXERCICE 2 1. Rappeler la dénition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé. 2. Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application continue de E dans F . Si A est une partie compacte de E , démontrer que f (A) est une partie compacte de F . L'image réciproque par f d'une partie compacte de F est-elle nécessairement une partie

PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL DANS L'ESPACE EUCLIDIEN Avant toutes choses, nous avons besoin dans ce chapitre d'orienter l'espace, c'est-à-dire distinguer les deux types de repères suivants : K K → Repère direct k → → k J → → Repère O I indirect O → j j → i i I J Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k ), les pieds en O et regardant le point I. Un repère est dit "direct" si, l'observateur à le point J à sa gauche. Il est dit "indirect"

c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :   2 a ab ac P = ab b2 bc ac bc c2 1. Calculer le déterminant de P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0.

est nécessaire de connaître un minimum d’outils mathématiques relatifs au calcul différentiel. Pour de plus amples informations ou exercices, on se reportera par exemple à [2]. 1.1 Différentielle et gradient On se place dans des espaces vectoriels normés de dimension finie : on notera toujours · la norme, indépendamment de l’espace utilisé. Dans l’espace Rn , on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la base canonique

faisant l’hypoth`ese qu’elle est constante jusqu’`a 280 km (en fait, elle varie de moins de 30 %), trouvez : a) la vitesse `a laquelle les d´ebris ont ´et´e projet´es, b) le temps qu’il leur a fallu pour atteindre la hauteur maximale. 5. Produit vectoriel Sur la figure suivante, le vecteur a est dans le plan xy et pointe dans une direction faisant un angle de 250◦ par rapport `a la direction de l’axe + Ox ; le module du vecteur a est de 18 unit´es. Le vecteur b a un module de 12 unit´es et est selon

Evaluation N°: 6 Thème: Durée (en min): 50 Droites Sujet: C Note Classe: Nom: Prénom: Toutes les réponses aux questions doivent être justifiées. Les valeurs numériques seront laissées sous forme de fractions. Exercice 1 : ( 4 points ) 1. Tracer dans le repère ci-contre, la droite d'équation y = 0,5 x - 2 2. Déterminer par lecture graphique une équation de la droite D présentée dans le graphique ci-contre. Exercice 2 : ( 5 points ) 1. Déterminer une équation de la droite d1 passant par