Anneau commutatif

définir des fonctions polynômes avec des coefficients dans un ensemble A autre que . (Cela peut être par exemple le corps des nombres complexes ). Cependant l'ensemble A doit posséder un certain nombre de propriétés algébriques (A doit être un anneau commutatif(1)). (1) Notion de groupe Un ensemble G est un groupe si il est muni d'une l.c.i * (loi de composition interne) vérifiant les trois propriétés suivantes : · Existence d'un élément neutre e : "x Î G, e * x = x * e = x · Associativité de la

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénombrement des fonctions croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeurs premières d’un polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps commutatif . . . . . . . . Quasi-surjectivité des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . Continuité des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-goupes discrets de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . Théorème de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénombrement des fonctions croissantes . . . . . . . . . . Valeurs premières d’un polynome . . . . . . . . . . . . . . . Cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps commutatif Quasi-surjectivité des fonctions rationnelles . . . . . . . . . Continuité des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . Sous-goupes discrets de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions à variations bornées . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 TRAVAUX DIRIGES K o¢ G e rm a in A B A L O 2 U F R -M I Chapitre 1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES REDUCTION DE JORDAN Dans tout le cours, E est un espace vectoriel sur un corps commutatif |; (en général | = R ou | = C): L(E) est l’ ensemble des endomorphismes de E; Mn (|) est l’ ensemble des matrices carrées d’ ordre n à coe¢ cients dans |: 1.1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES Dans ce qui suit, u 2 L(E) avec u 6= 0 et A 2 Mn

notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier, on dispose des notions de pgcd, ppcm et du théorème de Bézout qui nous dit que, pour r

Chapitre 5 Algebre lineaire, enonces Lorsque la dimension est in nie, on admettra que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel possede des supplementaires et que tout espace vectoriel possededes bases. K designe toujours un corps commutatif. 1. Soit E un K -espace vectoriel. Soit F un sous-espace vectoriel de E . On de ni sur E la relation R suivante : (x R y) () (x ? y 2 F ). (a) Veri er que R est une relation d'equivalence. On note E 0 = E /F l'ensemble des classes d'equivalence pour cette

bien plus e rapides. Tous les exemples sont trait´s dans une feuille Maple jointe. e 1 1.1 G´n´ralit´s e e e Pr´sentation de C(X) e De mˆme que Q existe parce que Z poss`de des ´l´ments non inversibles, on peut construire e e ee un corps commutatif contenant K[X], dont tous les ´l´ments non nuls sont inversibles, et ee P dont tous les ´l´ments s’´crivent (de fa¸on non unique, comme pour les rationnels) ee e c avec Q P ∈ K[X] et Q ∈ K[X] \ {0}. Ce corps est not´ K(X) : “corps des fractions

0 i 0 Si Démonstration Im σ est un sous-anneau de E. Il contient K σ K et a L est un sous-anneau de E contenant K a L car tout élément c de Im σ s’écrit c Définition Soit σ; K X E l’application définie par σ P P a pour tout P K X . Considérons le noyau de σ. C’est un idéal de K X .  © 10 © £ ¢  ©   £ ¢ 2£ ¢ ¡ ( )£ ¢ Im σ i n i 0 P a ∑ bi ai   % #'" £ ¢ ¡ £ ¢ ¡ % $" # Théorème Im σ est le sous-anneau K a de E engendré par K a . σ X . alors L

1.1 (opérations sur l’ensemble R2 ) On munit l’ensemble R2 des deux lois suivantes : (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) ∀ (x, y, x , y ) ∈ R4 , (x, y)(x , y ) = (xx − yy , xy + yx ) Muni de ces deux lois, R2 possède une « structure de corps commutatif ». Plus précisément : – Le neutre pour la loi + est (0, 0), et l’opposé de (x, y) est (−x, −y). – Le neutre pour le produit est (1, 0). – Pour tout z = (x, y) non nul, l’inverse de z est : 1 x −y = , 2 . 2 2 z x + y x + y2 Définition 3.1.1 (nombres

Endomorphismes normaux Notations. — Dans la suite K d´signe un corps commutatif de caract´ristique = 2 (et le plus e e souvent K = R ou C). 1. Endomorphismes remarquables d’un espace quadratique. D´finition . — On dit dit que le couple (E, φ) est un espace quadratique lorsque e E est un K-espace vectoriel et φ une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e sur E, ie : e e e e e e ∀x ∈ E, (∀y ∈ E, φ(x, y) = 0 ⇒ x = 0). Dans la suite de cette section, on fixe (E, φ) un espace quadratique. D´finition