Arc tangente

0 1 +∞ 4x + 0 + 1 − x2 + 0 − ′ f (x) 0 + 0 − 4. x 0 1 +∞ ′ f (x) 0 + 0 − 2 f (x) 1 −∞ 3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 5. −5 Dans un graphique doivent apparaˆ toutes les droites dont il a ´t´ question dans ıtre ee le sujet, auquel s’ajoutent les tangentes horizontales. Retour 1 2 3 4 L.BILLOT 5 DDL e de la 1`re S ` la TS. a ´ Chapitre 4 : Etudes de fonctions Exercice n 2: ˚ 1. Le domaine de d´finition est centr´ en 1, de plus pour tout h = 0, on a : e e 1 1 [f (1 + h) + f (1 − h)]

- Tangente Dérivée en un point Tangente IV 15 15 A. Dérivée en un point 1. Dérivée en un point Rappel On appelle nombre dérivé de f en a le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point (a,f(a)). On le note f'(a). Complément : Calculatrice pour calculer f'(a) Pour calculer la dérivée en un point avec une calculatrice de tyep CASIO, aller dans MENU RUN OPTN CALC. On calcule ici la dérivée en 2 de la fonction f  x = x 21 C'est à dire f ′  2 B. Tangente 1.

Exo3 : a, EULER : Pour x0 : Si x0=0, on a tout le temps la stabilité de l’état d’équilibre x ≡ 0 pour toutes les valeurs de t ∈ [0, T ] avec n 'importe valeur de T strictement positive Si x0 est différente à 0 (câd strictement positive), la courbe ne change pas avec tous les valeurs de x0. Choisissons h=0,3 x0= {-1 ; 0; 0,5; 10} ,T={4,7} /* T=4 */ pour x0=-1 et T=4 t x(t) 0 -1.0000 0.3000 -1.0000 0.6000 -0.9100 0.9000 -0.7462 1.2000 -0.5447 1.5000 -0

matrice ainsi que le vecteur des points de contrôle qui la représente. Le vecteur se diffère d’un type de courbe à l’autre. Pour une courbe d’Hermite, ce vecteur est composée de la position du point de départ, du point d’arriver, de la tangente initiale ainsi que la tangente finale de la courbe tracée. Voici la matrice et le vecteur qui est utilisé pour la courbe d’Hermite : Dans le cas de la courbe B-Spline, le vecteur des points de contrôle est le même et donc seule la matrice diffère l’une de

Q U ES Cor rigé DS du 20 sept 2011 E xercice 1 1. f(0) est donc f(0) = . de la tangente à la courbe c au point B. On lit -1. La tangente à c au point B a pour équation : 0) + f(0) En utilisant les résultats précédents, on obtient donc : y=-x+ 2. Equations et inéquations : a. f (x) = 0 : les solutions sont les abscisses des points de c axe des abscisses. S = {- 2 ; 1} b. x) = 0 : la courbe c admet 4 tangentes horizontales. Les solutions sont les abscisses des 4 points de tangence. S = {- - ;

point A(0 ; 5) § la tangente à (C) au point A est parallèle à l’axe des abscisses ; § la tangente à (C) au point B d’abscisse 1 a pour coefficient directeur – 3. Etudier les variations de la fonction f ainsi obtenue. Tracer (C). Soit f la fonction définie sur R- {2} par : f (x) = Exercice III. Soit h la fonction définie par h ( x ) = x 1 + ; Γ sa courbe représentative et ∆ 4 x2 x . 4 a) Etudier la fonction h , dresser son tableau de variation et préciser la tangente à Γ au point d’abscisse

de symétrie pour la courbe [pic]. 3. Tracer la courbe [pic]. 4. Soit la droite [pic]. a) Déterminer par leurs équations les tangentes à [pic] parallèles à la droite D. b) Soit [pic], ou k une constante réelle . Discuter graphiquement le nombre de solution de l’équation f(x) = 5x + k . II. Soit la fonction g définie par : [pic]et [pic] sa courbe dans [pic]

2. Déterminer une équation de la tangente à Cj au point d’abscisse 1. 3. Donner l’approximation affine associée à j pour x proche de 1. En déduire une valeur approchée de j(1,1). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 4 (3 points) Soit k déf. sur D = ]2 ;+ [ par k(x) = 1. Calculer k ’(x) pour tout réel x de D. 2. Etudier le signe de k ’(x) et dresser le tableau de variation de la fonction k. 3. La courbe Ck admet-elle des tangentes horizontales ? Exercice 5 (0.5+2

MPSI, mathématiques 1/2 Devoir 10 (4h) 17/11/2010 3. En déduire que C possède un point double A et déterminer les coordonnées de A. 4. Montrer que les tangentes à C au point A sont orthogonales. 5. Tracer la courbe C . E XERCICE 4 Soit P une parabole de foyer F et de directrice D. Démontrer que pour tout point M ∈ P , la tangente à P en M est la médiatrice de F H , où H est le projeté orthogonal de M sur D (on pourra par exemple effectuer les calculs dans le repère où P admet une équation

dérivable en un un réel a de I, le coefficient directeur de la tangente est f '(a)L'équation de la tangente est donc de la forme :y =f '(a) x + p où p est un réel à déterminer.Le point de coordonnées(a;f(a))appartient à la tangente ( et aussi à la courbe représentative de la fonction f)Les coordonnées(a;f(a))vérifient donc l'équationy =f '(a)x + p ce qui permet de trouver le réelpf(a)=f '(a)a+ pp =f(a)-f '(a)aPar conséquent l'équation de la tangente est :y =f '(a)x +f(a)-f '(a)ace qui donne en mettant f