Arc tangente

+ 14 . c) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une seule solution α dans R et donner la valeur de cette solution. d) En déduire le tableau des variations de f. 6) Tracer avec soin la courbe cf et la droite (d) dans (O ; i , j ) 7) Soit (t) la tangente à cf au point M0 d’abscisse x0 = 3. Donner une équation de (t) et tracer cette droite dans le repère précédent. 8) La droite (t) recoupe cf en un point M1. Evaluer les coordonnées de M1 et vérifier par le calcul que M1 est effectivement un point

+ x + x + o(x3 ) au voisinage de 0 2 6 C d´signe la courbe repr´sentative de f dans le rep`re orthonorm´ direct e e e e − − → → (O, i , j ). 1) a) Montrer que f est d´rivable en 0 et pr´ciser f ′ (0). e e b) Donner une ´quation cart´sienne de la tangente T ` C au point e e a d’abscisse 0 et pr´ciser la position de C par rapport ` T au voisinage de 0. e a Faire une figure. . 2) On consid`re l’´quation diff´rentielle e e e x ′ x (E) : (e − 1) y + e y =1 a) R´soudre (E) sur chaque intervalle ]-∞, 0[ et

Fonction logarithme exercices corrigés 1 F. Laroche http://laroche.lycee.free.fr c. Etudier le signe de g ’. d. Déterminer les limites de g en 0 et +∞ . e. Dresser le tableau des variations de g. f. Construire la courbe Γ en précisant la tangente au poiint d’abscisse 1. Correction 1. f est un quotient de fonctions dérivables et le dénominateur ne s’annule pas, elle est donc continue et dérivable sur ℝ . f '( x ) = x2 + x + 1 − x ( 2 x + 1 ) ( 2. a. g ( x ) = b. (f x2

Dans l’éditeur de MATLAB on a exécuté le script suivant : ------------------------------------------------- x=linspace(0,4*pi,40); ------------------------------------------------- yf=exp(x)./(1+exp(x)); ------------------------------------------------- yg=cos(x).*yf; ------------------------------------------------- hold on %Dessiner les deux courbes des fonctions dans les memes axes. ------------------------------------------------- plot(x,yf,x,yg) -------------------------------------------------

Section 3 : Analyse du marché Le marché est défini comme étant le lieu de rencontre entre l’offre venant des producteurs et de la demande formulée par les consommateurs. La courbe de l’offre étant une fonction croissante du prix tandis que la demande en est une fonction décroissante. Lorsque nous représentons ces deux courbes sur un même repère, nous pouvons constater un point d’intersection. Ce point d’intersection nous permet de déterminer le prix d’équilibre noté P* et la quantité d’équilibre

la droite tangente à la courbe décrite par la fonction ( ) 2 f x = 2x − x en x = −2 est donnée par ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim 4 2 4 4 8 lim 6 lim 6 lim lim 6 6 x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x D ® D ® D ® D ® D ® D ® − + D − −  − + D − − + D  −  − − −    = D D − + D −  − D + D  − −   = D D − D = D D − D = D = − D = © ERPI -10- La droite tangente passe par

négative, la courbe décroit. Il s'agit bien d'un maximum. 6. 1 4  8 AS= 6   0= OM OA  0= 24 OM ' 18 Le point A correspond au paramètre t = 0. La tangente en A s'obtient en calculant Le vecteur Donc Partie B    0 OM ' .  AS  AS est colinéaire au vecteur tangent à la courbe en A est tangent à la courbe en A. O 0 ; 0 , E 0 ; a , F G 1 ;− 1.  3 2  tel que 4 ;−2 , A4 ; 0 3  1 = OM  OG  2   { x t = f 2 t =4

10 objets est de 60€ b) On trace la droite d’équation y =150. la courbe C est située en dessous de la droite d’équation y =150 sur l’intervalle [ 0 ; 18.5] Donc, on peut produire au maximum 18 objets pour un cout total inférieur à 150 €. 2. a) La tangente au point d’abscisse 14 a pour coefficient directeur 10, comme le coefficient directeur est égal au nombre dérivé qui représente le cout marginal, alors, f ′(14) = g (14) = 10 Le coût marginal est défini par Cm ( q) = C ( q + 1) − C ( q) , donc Cm

définition la pente de la tangente, si elle existe, à la courbe représentative de f au point d’abscisse a. Il se note f’(a). Exemple On considère la fonction f suivante, dont la représentation graphique est donnée ci-après : La fonction f est définie sur ....................... f’(–8) = f’(–4;5) = f’( –1) = f’(2) = f’(7) = f’(9) = Remarque Demeure un problème important que nous aborderons plus tard : comment détermine-t-on mathématiquement la pente de la tangente à une courbe en un point 

équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse a dans les cas suivants : 1) f (x) = 3x2 − x + 1 avec a = 1. 2x + 1 avec a = 3. x−2 √ x avec a = 9. 3) f (x) = x 2) f (x) = Exercice 3 : −x2 + 2x − 1 Soit f la fonction définie sur R∗ par f (x) = . x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1) Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale. 2) Existe t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient