Arc tangente

Chapitre I : Limite de suites et de fonctions 1 Limite de suites 1.1 limite infinie Définition : 1. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers +∞ ou encore qu’elle diverge vers +∞ si et seulement si tout intervalle ]λ; +∞[ (λ ∈ R) contient tous les termes de la suite (un ) à partir d’un certain rang n0 . On note alors lim un = +∞. n→+∞ 2. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers −∞ ou encore qu’elle diverge vers

f(x) = - 1 3 x + 3x. 3 On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( o , i , j ) 1) Montrer que f est impaire. 2) a- Dresser le tableau de variation de f. b- Etudier les extrema de f. 3) a- Donner l’équation de la tangente (T) à (Cf) au point d’abscisse 0. b- Etudier la position relative de (Cf) par rapport à (T). 4) Résoudre dans IR l’équation f(x) = 0 5) Déterminer lim x   f ( x) . Interpréter graphiquement le résultat x 6) Tracer T et (Cf) dans le repère (o

Remarque : Pour les fonctions usuelles dont le graphe est connu, il n’y a pas `a refaire l’´etude, a moins que cela soit explicitement demand´e. 3. Soit A un point d’abscisse a ∈ R de la courbe P . D´eterminons l’´equation de la tangente Ta de P au point A. La tangente T en un point x0 d’une fonction d´erivable f a pour ´equation T : y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) Appliqu´e a` la fonction f : x → x2 , on obtient Ta : y = 2ax − a2 4. Soient a et b deux r´eels distincts. D´eterminons le point d’intersection

Équations et inéquations du second degré 1/ Résolution de l’équation a x ² + b x + c = 0 avec a 0 On pose = b ² - 4 a c. est le discriminant de l'équation. b b Si > 0, alors l’équation a deux solutions : et 2a 2a b Si = 0, alors l’équation a une solution : . 2a Si < 0, alors l’équation n’a pas de solution. . Attention, ceci n’est valable que pour les équations du second degré. x2 - 2 x - 3 = 0 a = 1 ; b = - 2 ; c = - 3 donc = ( - 2 )2 - 4 x 2 + 6 x - 16 = 0 a = 1 ; b = 6 ; c = - 16 donc = 62

points O et A sont bien dans la courbe ?? . 2/ a) Déterminer f ‘(x). b) Etudier le signe de f ‘(x) sur [0 ; 4] puis dresser le tableau de variations de la fonction f. c) Précisez pourquoi les tangentes à la courbe ?? aux points O et A sont parallèles à l’axe des abscisses. 3/ Déterminer l’équation de la tangente à la courbe ?? au point I d’abscisse 2. 

4sin(4x) = −e−x [cos(4x) + 4sin(4x)]. De même g ′ (x) = −e−x . Polynésie 3 Corrigé du baccalauréat S septembre 2005 π b. Or si x = k , cos(4x) = 1 et sin(4x) = 0. 2 π π π = g′ k = −e−k 2 . Donc les courbes Γ et C ont même On a donc f ′ k 2 2 tangente en chacun de leurs points communs. π π 5. On a f ′ = −e− 2 ≈ −0, 2. 2 Polynésie 4 

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant le réel x . Le nombre dérivé de f en x , s’il existe, est le nombre  [pic] Ce nombre est noté [pic] Le calcul de limite en un point revient graphiquement à rechercher la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. [pic] représente donc la pente de la droite passant par [pic] et [pic]. N’oublions pas que [pic] tend vers [pic] Fonction dérivée : Si [pic] est dérivable en tout point de[pic], alors

f 'g(x0) existent et sont égaux. 5. Interprétation graphique et mécanique Propriété 2 S'il existe, le nombre dérivé f '(x0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point M0(x0, f(x0)). Remarque : Si f 'd(x0) et f 'g(x0) existent mais sont différents, la courbe admet deux demi-tangentes en M0 et fait un « angle » en ce point. Propriété 3 Si x(t) désigne l'abscisse, à l'instant t, d'un point mobile se déplaçant sur un axe et si t x(t) est dérivable

−−→ −− Mp (to ) quand t tend vers t0 . La tangente à la courbe Γ en M (to ) a la direction, du vecteur −−→ −− Mp (to ) Règle pratique : On calcule les dérivées successives de f p tel que : et g en to , et on détermine f (to )) = g (to ) = ....= f (p−1) (to) = g (p−1) (to ) = 0 et ((f (p) (to ) = 0 ou g (p) (to ) = 0) La tangente a pour équations :   x = xo + λf (p) (to )  y = yo + λg (p) (to )   λ ∈R I L'équation cartésienne de la tangente s'écrit : g (p) (to )(x − xo ) − f (p) (to

2nde Devoir maison n°5 Fiche d'identité des fonctions cube et racine carrée Sujet : Faire les fiches d'identités des fonctions cube et racine carrée, fonctions définies par : x( x3 et x ( [pic] En cours, les fiches d’identité de la fonction carrée et de la fonction inverse ont été faites. Vous pouvez vous en inspirer comme modèle. Consignes : • Lire entièrement le sujet avant de commencer. • Pour qu’une courbe soit précise, il faut placer un maximum de