Arc tangente

Exercice 1 : Cf est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4]. Les points M (1 ; 3,5) N (3 ; 1,5) et P (2 ; 2,5) appartiennent à Cf. La courbe Cf admet en chacun des points M et N une tangente parallèle à l’axe des abscisses. La droite ( est tangente à la courbe Cf au point P elle passe par le point S (3 ; 1). Par lecture graphique : 1. Compléter : ❖ f ’ (1) = ……… ❖ f ’(2) = ……… ❖ f ’(3) = ……… 2. Compléter le tableau de variation de la fonction

fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé. Exercice 3 - Logarithme - L1/Math Sup 1. On calcule la dérivée seconde de f qui vaut : f (x) = − 1 x2 ln(x) − 1 x2 ln2 (x) . Cette

CTRL et ALT. Rappel : l'Outil Plume fonctionne avec le principe des tangeantes (souvenez vous de vos cours de géométrie). Les points que vous verrez apparaitre en cliquant-glissant à la suite d'un point supplémentaire représente la direction des 2 tangentes de la courbe. Le point d'inflexion étant le point que vous aurez aposé. 3. Recentrons nous sur une petite partie de l'image pour commencer. Travaillons sur la partie interne blanche du bras situé à gauche de l'image. Je vous montre ici la technique

Remarques  Pour 1) les solutions sont conjuguées donc les coefficients de l’équation sont réels. 2)a ) 3) b) 4) b). Leur produit est égal à 2    Pour 2), n'hésitez pas à représenter les points dans un repère orthonormé. Pour 3), f(0) = 0 donc la tangente passe par le point O. Il n’y a que b). Pour 4) , Faites très attention. Il s’agit de la courbe de la dérivée de f. Donc,on doit déduire le signe de f’(x). Exercice 2 1) a)  1 lim f ( x)  lim ( x ²  1  2 ln x)  . car lim ln x  . x0

(bulles), mais aussi à la mise en place de l’éprouvette dans l’appareil, une phase de consolidation primaire pendant laquelle la surpression interstitielle se dissipe et revient à 0 après un temps noté t100 correspondant au point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'inflexion C1 et C2 de la courbe et une phase de compression dite « secondaire » qui est due au fluage du squelette des particules de sol (Fig.11.2) ('v= cte et u = 0).

décroît sur [] et qu’elle croît sur [2] , de plus on a  donc pour tout  de [] , .  4) Donnons l’équation de la tangente au point d’abscisse  sachant que    et que  :  soit  . Si  alors  ce qui revient àaffirmer que la tangente passe par le point de coordonnées (1 ;0)

7,7 f(x) e) Calculer f ’(4). Donner une équation de la tangente (T) à la courbe représentative de f au point d’abscisse 4. 4 f (4) = 2 – = 1 4 L' équation de la tangente à une courbe en un point d' abscisse x0 est : y = f ' 0) (x – x0) + f (x0) (x Ici x0 = 4, donc y = f ' (x – 4) + f (4) (4) y = 1 x (x – 4) + 2,5 y = x – 4 + 2,5 y = x – 1,5 (O, i, j ) d’unité graphique 2 cm. f) Tracer la courbe (C) et la tangente (T) dans un plan rapporté à un repère orthonormal G:\MATHS

valeurs de x les positions relatives des courbes C0 e et C1 . 4. Les graphiques. a. Comment peut-on construire la courbe C0 ` partir de celle d’´quation a e y = ex ? Dessiner C0 . b. Placer les points de C1 d’abscisses 0, 1 et 2 en pr´cisant les tangentes en e ces points ` C1 . a c. Dessiner C1 . Deuxi`me partie e On va construire une suite de fonctions f0 , f1 , f2 , . . . , fn , . . ., d´rivables sur I et e v´rifiant : e ∀x ∈ I, ∀n ∈ N ∗ , (2) fn (x) = fn−1 (x) − fn (x) fn (0) = 0 1. On pose,

fonction f définie sur IR. On sait que : − La droite ∆ d’équation y = 2 x + 4 est asymptote à la courbe C f en + ∞ . − La courbe C f admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses aux points B(− 3,2) et C (− 1,−2 ) . − La droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe C f en − ∞ . − La courbe C f admet une demi tangente T et une demi tangente verticale au point A(− 4,−2 ) . 7 ∆ ζ T f B −4 −1 2 j O i −3 A C −2 4) Soit g la fonction définie sur IR par

résultat. 2)a)Montrer que f est continue en 0, en déduire que f est continue sur ℝ b) Etudier la dérivabilité de f en 0, en déduire que f est dérivable sur ℝ c) Calculer f'(x) (fonction dérivée de f) pour tout réel x. d) Ecrire une équation de la tangente T à la courbe γ au point d’abscisse 0 3) Soit g la restriction de f sur 1;+∞ a)Dresser le tableau de variation de g pour tout x∈1;+∞ b) Montrer que l’équation gx=0 admet dans 1;+∞ une unique solution α c)En déduire le signe de g pour tout