Arc tangente

intbgrale. 2.b. DCterminer et reprksenter l'ensemble (r) des points P du plan tels que la courbe pas A inttgrale passant par P ait, en P, une tangente de pente nulle. 2.c. On consid&re un point M d'abscisse non nulle, n'appartenant selon sa position par rapport à (r). Dtterminer, (r) et B l'axe O y , le signe de la pente de la tangente en M B la courbe intégrale passant par ce point. 3.a. Montrer que Co admet en O une limite finie t , qu'on dtterminera. On pose d&ormais CO(O1

est dérivable en a si lim x!a 1/3 2 b) Interprétation graphique. Le nombre dérivé f '(1) , lorsqu’il existe, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en 1. Ici f '(1) est le coefficient directeur de la demi-tangente à C f au point d’abscisse 1 puisque la fonction n’existe qu’à gauche de 1. Comme f '(1) = 0 , la demi-tangente à C f au point d’abscisse 1 est horizontale. 4) a) Montrons que lim+ x !"1 1 1 f ( x) " f ("1) = +# . x +1 On en déduit que f n’est pas dérivable

Fonctions : Résumé de cours et méthodes 1 Généralités Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f (x). D f est appelé l’ensemble de définition de f . f (x) est l’image de x par f (x). Tout réel x de D f tel que f (x) = y est dit antécédent de y par f . • Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (2) = 22 = 4. Donc 4 est l’image de 2 par f . f(x) 2 (antécédent de 4) 4 (image de 2) On peut aussi dire que 2 est un antécédent de 4 par f . Mais

la courbe€'-représente Sur le graphique ci-dessus' 1 , Quel est le sens de variation de f sur l-2; a)? I t- 3 dérivabre i;àJ"î;tfini"ttangente à surcourbeI 11'^^' A' au point la La droite La droite 2. à(€ directeurs des tangentes PréctsezLes coefficients d'abscisses (€ sachant que-: une allure possible de : I est la 9' est la'"igtntt à la courbe en B' lu* point, 3, Donnez -2 ''2;4 ;o ;3' . , fournies par le 9r 1. À partir des informations .àtpf A

représentation graphique est en un seul morceau. Si la fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple : La fonction dont la représentation est ci-contre, est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau. A Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes. On dit que la courbe admet un point anguleux O a La fonction valeur absolue x → | x | est continue

de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t ) pour t ∈ ℝ ∗ . A l’aide d’une intégration par parties, montrer que : ∀t ∈ ℝ ∗ , ∫ En déduire le sens de variation de f . 1.f Tracer la courbe représentative de f dans un repère

(x) pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 6 ] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle. 3. Compléter le tableau de valeurs suivant : x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 4. Déterminer l’équation de la tangente D à la courbe représentative de f au point d’abscisse 4. 5. Construire D et la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [ 0 ; 6 ] dans un repère Echelle : en abscisse 1 cm pour 0,5 m en ordonnées 1 cm pour 1 m² 6. Déterminer

|Réponse b |Réponse c | |2 |[pic] est égal à |3 |0 |9 | |3 |Une équation de la tangente [pic] est |[pic] |[pic] |[pic] | |4 |L’équation [pic] admet |Une solution |Deux solutions |Trois solutions

tend vers A sur Cf , la droite tend vers une position limite : c’est la tangente a Cf en A. La tangente a pour pente f (a) et passe par A, et ` a donc pour ´quation y = f (a)(x − a) + f (a). e Soient f d´rivable en a et A(a, f (a)). Le taux d’accroissement de f en a, e M ✻ A  O ı ✲ a Remarques : f (x) − f (a) existe dans R alors f est dite d´rivable e x→a x−a a ` droite en a (demi-tangente). Si les nombres d´riv´s ` droite et a gauche sont distincts, e e a `

DM PaK Exercice 1 : (10 points) La courbe (C) donnée en ci-contre est la courbe représentative d’une fonction f. Le point E a pour coordonnées pour abscisse 5 2 1 − ;0 2 ( ) et le point F a . Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique. 1. Lire l’ensemble de définition, noté I, de la fonction f . 2. Lire les images respectives de −1 par f. 3. Lire les antécédents de 0 par f . 4. Lire le nombre et le signe des antécédents éventuels de −0,5 par