Arithmétique des polynômes

Quinzaine de khôlles no — Nombres complexes Lycée J.-B. Say PCSI . Nombres complexes ▶ Définition de C : règles de calcul, exemples, interprétation géométrique des nombres complexes. ▶ Calculs dans C : binôme, série géométrique, série arithmétique, conjugaison, module, propriétés. ▶ L’exponentielle complexe : rappel sur l’exponentielle réelle, définition de θ , propriétés (équation fonctionnelle, formule de Moivre, formules d’Euler, etc.), forme polaire d’un nombre complexe, argument d’un

)n∈N ,déterminer directement la valeur de zn . (b) Ecrire alors xn+1 et y n+1 en fonction de xn et de y n . DS2 1 2. On introduit la suite (r n )n∈N définie par r n = xn + y n pour tout entier naturel n. (a) Etablir que la suite (r n )n∈N est arithmétique et préciser sa raison. (b) En déduire l’expression de xn + y n en fonction de n. 3. On introduit la suite (sn )n∈N définie par sn = 2xn + y n pour tout entier naturel n. (a) Prouver que la suite (sn )n∈N est géométrique et préciser sa raison. [R]

des parenthèses 2. Signe d’un produit et d’un quotient D. TRANSFORMATIONS D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES 1. Propriétés des opérations 2. Réduction des termes semblables 3. Développement, factorisation des expressions algébriques E. POLYNÔMES – RACINES D’UN POLYNÔME II. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS OU D’INÉQUATIONS – SYSTÈMES A. DÉFINITIONS B. RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE D’UNE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE C. RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE D’UNE INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE D. RÉSOLUTION

calculs arithmétiques. • Définition mathématique L’analyse numérique consiste à étudier les conditions d’existence, d’unicité et de performances (convergence, stabilité, précision, etc…) de la solution d’un problème d’analyse. • Définition algorithmique La résolution algorithmique d'un problème comporte : – – l'approximation d'un problème mathématique décrit en terme d'opérateurs (dérivées, intégrales) par un problème numérique défini au moyen d'opérations arithmétiques l'élaboration

binaires Dénombrement & Dénombrabilité Chapitre 2 : Structures algébriques     Lois de composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z     Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles  Définition formelle des polynômes  Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…  Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi

II.Complexes, polynômes, équations, systèmes d'équations Complexes: I désigne le complexe i. Instructions associées aux complexes: evalc(…); Re(…); Im(…); abs(…); argument(…); Forme trigonométrique: polar(2,Pi/4); convert(3–I*4,polar); Arithmétique: Reste dans la division euclidienne: 22 mod 4; Pgcd, ppcm: igcd(…); ilcm(…); Décomposition en facteurs premiers: ifactor(12); (résultat: (22)( 3)) Nombres premiers: isprime(12); (réponse: false) ; ième nombre premier: ithprime(3); Polynômes: Evaluation:

2 1.1 Algèbre .......................................................................................................... 2 1.2 Équations ...................................................................................................... 3 1.3 Polynômes et fractions rationnelles .......................................................... 6 1.4 Nombres complexes.................................................................................... 9 1.5 Analyse ......................................

faire Debut_Tant_que instructions Fin_Tant_que Le second degré www.mathmaurer.com – Cours – 1ère S I – Forme canonique d'un polynôme de degré 2 Définition 1: On appelle fonction polynôme de degré 2 une fonction de la forme : Pour tout x  , x  ax2 + bx + c avec a, b, c   et a ≠ 0 (forme développée) Vocabulaire : Les réels a, b et c sont appelés les coefficients du polynôme. Propriété 1: Pour toute fonction f : x  ax2 + bx + c avec a, b, c   et a ≠ 0, il existe deux réels uniques α et β tels

y=f’(a)(x-a)+f(a) Polynôme du second degré Rappel : Δ=b²-4ac x1=(-b-racine de delta) : 2a x2=(-b+racine de delta) : 2a Rappel : Δ=b²-4ac x1=(-b-racine de delta) : 2a x2=(-b+racine de delta) : 2a Signes et racines | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 | 2 racinesx1 et x2 | Une racine : x1=(-b)/2a | Pas de racine | Signe de a |0| a |0|aDs le tableau | Signe de a|0|a | Signe de a | | | | Suites Arithmétiques & Géométriques I-Suites arithmétiques *

Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3/ Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 2 Polynômes du second degré 1/ Généralités sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 3 Dérivation des fonctions 13 1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .