Arithmétique des polynômes

extrait du document DM de spé Math Informations générales Type : Devoirs Maisons Classe(s) : Terminale S Matières : Mathématiques Mots clés : arithmétique, spé corrigé Les fichiers du document 125 DM version doc DM version pdf Le contributeur pinel précise : Exo corrigé de spécialité mathématique, suites, pgcd, diviseur, racine d'un polynôme Derniers docs de Terminale S C Bac 2014 corrigé de Pondichéry, TS - Math C 2013-2014 - Corrigé du test loi normale, géométrie C Tous les devoirs

DEGRE I. FONCTIONS POLYNOMES 1° Définitions Une fonction polynôme est une fonction P de ℝ dans ℝ définie par : P(x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + a 1 x + a 0 Les nombres a0, a1, ... , an sont des nombres réels appelés les coefficients de P. Un polynôme est nul pour tout x si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Le plus grand entier n tel que an ≠ 0 est appelé le degré de P. On le note deg (P). On dit alors que P est de degré n. 2° Egalité de deux fonctions polynômes P = Q signifie

à & et | ~ ou non = supérieur ou égal à == égal à ~= différent de Caractère spéciaux = assignation xor ou exclusif [ ] définition de matrices ou vecteurs; ensère les arguments de sortie des fonctions ( ) gère la priorité des opérations arithmétique ensère les arguments d'entrée des fonctions . point décimal .. directory parent ... indique une ligne suite , séparateur d'arguments ou d'instructions ; : fin de lignes (matrices) ou suppression de l'affichage manipulation de sous matrices

quantifier sans écriture. Cette règle est un instrument mécanique de calcul analogique. Son avantage est qu’elle permet par simple La règle à déplacement longitudinal d’échelles calcul par Seth graduées, d’effectuer des opérations Partridge en arithmétiques très précises et très 1657 complexes : la multiplication et la division mais aussi des racines carrées… Avantage : facilité d’utilisation Inconvénient : est que les additions et les soustractions ne sont pas praticables. John Napier a inventé les

registres différents, les activités algorithmiques et le tableur qui favorisent la compréhension de la notation indicielle. CONTENUS Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. CAPACITÉS ATTENDUES Utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. COMMENTAIRES On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe

Programme première scientifique Mathématiques -Algèbre et probabilités Fonctions polynômes Statistiques Probabilités -Analyse : Suites et fonctions numériques, étude locale et globale Fonctions numériques Dérivation et comportement asymptotique Suites numériques -Géométrie Vecteurs et configurations du plan Vecteurs et configurations de l'espace Barycentres dans le plan Produit scalaire dans le plan Angles orientés - Trigonométrie Transformations Physique

minoration, de majoration, théorème dit « des gendarmes ») - Les opérations entre limites (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient, d’une composée). En cas de forme indéterminée, on utilise souvent les résultats : - La limite en ± ∞ d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré - La limite en ± ∞ d’une fraction rationnelle est celle du quotient simplifié des termes de plus haut degré - Les limites par croissances comparées (cf paragraphe exponentielle et logarithmes) Asymptote verticale

pourrait penser qu'il ne s'agit là que d'un problème de programmation. En fait pas du tout, car cette formule a été créée pour être utilisée dans le domaine du continu avec une arithmétique infiniment précise.Or lorsqu'elle est traitée sur ordinateur, elle est projetée dans le domaine du discret et exécutée avec une arithmétique à précision limitée [6]. La différenciation numérique traite le problème suivant: on nous donne la fonction y=f(x) et souhaitons obtenir "au mieux" l’une de ses dérivées au

données 10 Détection d’erreur par CRC (Cyclic redundancy Code) – Basée sur des calculs de division de polynôme à coefficient dans [0, 1] – Exemple: 1 0 1 0 1 correspond à x4+x2+1 – Division de x3+x2+1= (x2+1)* (x + 1) + (x) : Reste =x, Quotient = x+1 – Arithmétique polynomiale modulo 2 (sans retenue): soustraction et addition sont équivalentes à un ou-exclusif bit à bit – On se donne un polynôme générateur G de degré n qui détermine le nombre de bits de contrôle n T: Données 000...0 Reste – T= Quotient*G

surjective l’ensemble des parties de l’ensemble E l’ensemble des fonctions de X dans Y la partie entière du réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An